Ferenc, Olívia
-4 °C
4 °C

Hiba a közeliprímszám-sejtés bizonyításában

2003.06.03. 15:23
Sokan vélték úgy, hogy a közeliprímszám-sejtés Goldston és Yildirim-féle bizonyítása a legfontosabb előrelépés a prímelméletben a hatvanas évek közepe óta, azonban néhány héttel a bejelentést követően kiderült, hogy hiba van a levezetésben.
Az általánosan elterjedt sejtés szerint végtelen sok ikerprím van, azaz ezek a párok bármilyen nagy egész számok körében előfordulhatnak; ezt azonban még senkinek sem sikerült bizonyítani. Az ikerprímek olyan prímszámok, melyek különbsége 2, az eddig felfedezett legnagyobb ikerprímek 51 090 számjegyből állnak.

Daniel Goldston, a San Jose-i egyetem munkatársa - aki húsz évet töltött a probléma megoldásával - és Cem Yildirim, az isztanbuli Bogaziçi egyetem matematikusa egy kapcsolódó kérdést vizsgált, azt, hogy léteznek-e végtelen számban az átlagosnál közelebb álló szomszédos prímek. (A szomszédos prímek különbsége nem feltétlenül 2, tehát ezek nem feltétlenül ikerprímek.)

Prímcsoportoknál is működne

Goldston és Yildirim bizonyítása szerint tehát a szomszédos prímszámok jóval közelebb is állhatnak egymáshoz a számsorban, mint a várható átlagos távolságuk. Goldston márciusban ismertette eredményeiket az Amerikai Matematikai Intézet találkozóján, Palo Altóban.

Munkájukban arra a korábbi eredményre építettek, mely szerint a prímek előfordulásának gyakoriságát meg lehet jósolni: ismert, hogy egy tetszőleges x egész szám körüli i hosszúságú intervallumban közelítőleg i/log x darab prímszám van, azaz a prímek átlagos távolsága logaritmus x. Goldston és Yildirim kimutatta, hogy a szomszédos prímek közötti távolság esetenként jelentősen kisebb lehet az átlagosnál, x nagyságától függetlenül. Ráadásul ez az átlagosnál kisebb távolság nem csak két prím között fordulhat elő, hanem felölelhet egész prímcsoportokat is.

Nagyságrend

Andrew Granville, a montreáli egyetem és Kannan Soundararajan, a michigani egyetem matematikusa a publikálást követően nagy érdeklődéssel tanulmányozták a bizonyítást, segítségükkel Goldston egyszerűsíteni is tudta a levezetést, mely így 25 oldalról hat oldalra rövidült.

Április végén azonban hibát találtak a bizonyításban, nem az "új matematikát" tartalmazó részben, hanem a régebbi módszerekkel dolgozó számítások között. Az Amerikai Matematikai Intézet ismertetése szerint a probléma lényege, hogy néhány mennyiségről, melyeket eddig kisebb hibatagoknak tartottak, kiderült, hogy a fő kifejezéssel megegyező nagyságrendűek.

Bizakodnak

A múltban számos bizonyításban találtak hasonló hibákat, elegendő csak a Fermat-sejtésre gondolni, de ezek igen gyakran meg is oldódtak később. Goldston most ugyanebben reménykedik, mindenestre még legalább hónapokig, talán még tovább tartó munkára számít. Sokak szerint a Goldston és Yildirim-féle bizonyítás a hibától függetlenül sikeresnek tekinthető. "Fantasztikus dolog, amit véghezvittek - mondta Granville, - csak sajnos nincsen száz százalékig kidolgozva. De én bizakodó vagyok."

Brian Conrey, a Palo Alto-i Amerikai Matematikai Intézet igazgatója a Mercury Newsnak elmondta, hogy a matematikusok már átnézték a levezetést egy esetleges gyors megoldás után kutatva, de eddig egyet sem találtak.