Miklós
-7 °C
2 °C

Helyesnek tűnik a Poincaré-bizonyítás

2004.09.07. 12:16
Keith Devlin, a Stanford egyetem matematikusa kijelentette: "helyesnek tűnik" a Poincaré-problémának a bizonyítása, melyet Grigorij Perelman orosz matematikus jelentetett meg csaknem két éve. Bár a világ hét legnehezebb matematikai kérdése között számon tartott Poincaré-probléma bizonyításáért a Clay alapítvány egymillió dollárt ajánlott fel, úgy tűnik, hogy Perelmant nem érdekli a pénz.
A British Association exeteri tudományos fesztiválján Keith Devlin, a Stanford egyetem matematikusa felszólalásában kijelentette: "helyesnek tűnik" Grigorij Perelman orosz matematikus Poincaré-bizonyítása. Perelman, az orosz tudományos akadémia Szteklov intézetének munkatársa még tavalyelőtt novemberben kezdte részletekben megjelentetni a bizonyítást az interneten, amit azóta is hatalmas érdeklődés övez.

Nem törődik vele

A Poincaré-probléma egyike a hét "milleniumi" feladványnak, melyek megoldásáért a massachusetts-i Cambridge-ben működő nonprofit alapítvány, a Clay Matematikai Intézet egy-egy millió dollárt ajánlott fel. A hét hipotézist (köztük a Riemann-sejtést, a Hodge-sejtést vagy a P nem egyenlő NP-problémát) 2000-ben hirdették ki, és ezeket tartják a matematika legnehezebb, legmakacsabb problémáinak. A Poincaré-sejtés megoldásával egyébként 2002-ben egy másik matematikus, Martin Dunwoody is jelentkezett, de az ő bizonyításában annak idején hiányosságokra mutattak rá.

Perelman - aki nyolc évet dolgozott a problémán visszavonultan, Oroszországban - különös módon egyszerűen csak föltette az internetre a levezetést, hogy matematikus kollégái ellenőrizhessék azt, és a továbbiakban nem törődött vele. "Jó okunk van azt hinni, hogy Perelman levezetése helyes - idézte a BBC Keith Devlint. - A baj az, hogy nem beszél róla senkivel, és nem mutat érdeklődést a pénz iránt sem." A Clay Intézet egymillió dolláros díjának elnyeréséhez Perelmannak a teljes levezetést meg kellene jelentetnie egy matematikai folyóiratban. A pénzt akkor kapná meg, ha a megjelenést követő kétéves várakozási periódusban nem találnának hibát a bizonyításban.

Hírhedt

A Poincaré-probléma a topológiai egyik központi kérdése. Poincaré francia matematikus 1904-ben jutott el a háromdimenziós tér leírásával kapcsolatos híres feltételezéséhez, melyet bizonyítani azonban nem tudott. A kétdimenziós terek topológiai leírása már korábban, az 1800-as években megtörtént, ezek segítségével az összes lehetséges kétdimenziós tér, azaz valamennyi felület (mint például a Föld felszíne) matematikai eszközökkel leírható.

Poincaré azt a kérdést tette fel, hogy a kétdimenziós térre vonatkozó egyenletek átalakíthatók-e úgy, hogy a háromdimenziós térre érvényesek legyenek. Valószínűnek tartotta, hogy igen, de bizonyítani nem tudta. A hatvanas évektől kezdve a matematikusok minden további dimenzióra átalakították az egyenleteket (a négydimenziós tér leírását Michael Freedman készítette el 1982-ben), de egyik eljárás sem működött három dimenzióban. A probléma hírhedtté vált arról, hogy több tucatnyi olyan megoldása született, mely később hamisnak bizonyult.

Új szempontok

Perelman eredményei ráadásul túlmutatnak a Poincaré-problémán, erőfeszítései elsősorban a Thurston-féle geometrizációs sejtés bizonyítására irányulnak. A hetvenes évek elején William P. Thurston professzor felvetette, hogy a három dimenziós terek felfoghatók sok homogén darab együtteseként, melyek csak egy bizonyos módon állíthatók össze. Thurston számos esetre bizonyította a felvetést, amiért megkapta a Fields-érmet, a legmagasabb matematikai kitüntetést. A sejtés teljes bizonyításával egyúttal megoldódna a Poincaré-probléma is, mely annak egy alesete.

Devlin felszólalásában megemlítette, hogy a hosszú idő, amit a matematikusok annak eldöntésével töltöttek, hogy elfogadják vagy elutasítsák-e a bizonyítást, mutatja annak bonyolultságát. A professzor szerint még sok hónap telhet el a végleges eredményig, de ha a levezetés esetleg mégis hibásnak bizonyul, Perelman munkája akkor is számos új szempontot ad hozzá a probléma megoldásához.