Olivér
8 °C
13 °C
Index - In English In English Eng

A matematika Mozartja majdnem bizonyította a 82 éve megoldatlan Collatz-sejtést

2019.09.13. 10:48 Módosítva: 2019.09.13. 14:33

Terence Tao a matematika szupersztárja, Mozartja, és még jó pár állandó díszítő jelző birtokosa. És most egészen közel jutott a lassan évszázados Collatz-sejtés bizonyításához, ami a matematika egyik leghíresebb megoldatlan problémája.

Ameddig nem bizonyítunk egy matematikai állítást, addig nem nevezhetjük tételnek, csak sejtésnek. Néha a legegyszerűbben megfogalmazható állításokat a legnehezebb bizonyítani, hiába bizonyultak igaznak sok millió, sőt trillió számra, és nem találtak egyetlen olyat sem, amelyre ne lenne igaz. 

A Collatz-sejtés állítása pofon egyszerű: fogunk egy pozitív egész számot, ha páros, elosztjuk kettővel, ha páratlan, megszorozzuk hárommal és hozzáadunk egyet. Ezt a lépést sokszor ismételjük, a létrejövő sorozat pedig minden esetben 1-hez tart, tök mindegy, milyen számból indulunk ki.

A sejtés nevét Lothar Collatz német matematikusról kapta, aki 1937-ben fogalmazta meg, de bizonyítani ő sem tudta.

Ha grafikonon ábrázoljuk (visszafelé) a különböző kiindulópontú Collatz-sorozatokat, akkor jellegzetes, egyeseket korallra vagy moszatokra emlékeztető bokros mintázatot kapunk:

growcollatzs.gif
Fotó: Edmund Harriss

Ha például 12 a kiindulási érték, akkor a sorozat következő tagjai: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Ha 19, akkor a tagok: 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Amint látszik, a sorozat szinte sohasem csökken folyamatosan, hiszen páratlan szám esetén szorozni kell. Ez alól csak a 2 hatványai a kivételek, amelyeket egészen 1-ig folyamatosan felezni lehet. Emiatt a 2 hatványairól induló Collatz-sorozatok a legrövidebbek. A Mersenne-prímekből (a 2n-1 alakban felírható prímszámokból) indulva viszont igen sokszor emelkedik a sorozat értéke (hiszen sokszor kapunk páratlan számot közben).

De végül ez is 1 lesz.

A sejtés az első 1020 (száztrillió) számra igaz. De mi van, ha a 1020+1. számra már nem igaz? Vagyis akárhány számot is vizsgálunk meg, ilyen módon nem lehet bizonyítani egy sejtés igazságát. Ehhez logikai bizonyítás szükséges, de a Collatz-sejtés csak nem adja meg magát, pedig a világ legnagyobb matematikai zsenijei próbálták már megtörni.

A sejtés megszelídítése Terence Taónak sem sikerült egyelőre. Viszont mindenki másnál közelebb jutott a bizonyításhoz, így sokak szerint ez az eredmény a matematika legfontosabb felfedezése évek óta. Tao mások eredményeiből indult ki, akik bizonyították, hogy szinte minden Collatzhoz hasonló sorozatra igaz, hogy nem tartanak a végtelenbe, hanem legalább a kiinduló értékük és az 1 közé eső számot közelítenek. A bizonyítás 48 oldalából több poént nem is lövünk le, mindenki szabadon letöltheti az Arxiv tanulmánytárból.

Azt maga Tao is elismeri, hogy ez nem végleges bizonyíték, mert valószínűségszámítási módszereken alapul, így mindig ott lesz egy kicsiny, de nem elhanyagolható esélye a hibának. Mindenesetre a kollégák szerint ilyen messze még senki sem jutott, aki hozzányúlt a Collatz-sejtéshez. Rengetegen voltak ilyenek, így a sejtés már-már kultikus szerepet tölt be matekos-geek körökben. Még felnőtt kifestőkönyvben is lehet színezni Collatz-grafikont:

Sajnos azonban Tao szerint nagyok csekély az esély arra, hogy az általa alkalmazott módszer segítségével valaha is elérhető lesz a végleges bizonyíték. Inkább csak technikai pontosításokra lehet számítani. Például pontosan definiálni lehetne, hogy mit is jelent a Tao tanulmányában szereplő “szinte minden esetben” kitétel. “De ezeket a fejlesztéseket boldogan átengedem más matematikusoknak” – nyilatkozta Tao, aki ezek szerint többet nem nagyon akar a problémával foglalkozni.

Ha ön szeretne, akkor itt van egy online Collatz-kalkulátor, ahol tetszőleges kezdőértékre generálhat magának sorozatot. A Collatz-sejtés bizonyításáról Bálint Endre scifi-regényt írt A programozó könyve címmel, amelyért elnyerte a Zsoldos Péter-díjat.