Valér
-1 °C
0 °C

Áttörés az ikerprím-sejtés bizonyításában

2013.05.15. 13:49

Több ezer éves matematikai sejtés igazolásához jutott közelebb a Durhamban található New Hampshire-i Egyetem professzora, Jitang Csang – írja a Nature hírportálja. Csang az ikerprím-sejtés bizonyításában ért el áttörést.

Az ikerprím-sejtés a matematika egyik legrégebbi problémája, először már valószínűleg Euklidész is gondolt rá, körülbelül 2300 évvel ezelőtt. A sejtés kimondja, hogy végtelen sok olyan prímszámpár létezik, amelyek között 2 a különbség. Ilyen ikerprímek például a 3 és az 5, a 41 és a 43 vagy a 2 003 663 613 × 2195,000 − 1 és a 2 003 663 613 × 2195,000 + 1. Azt azonban még senkinek nem sikerült igazolnia, hogy ilyen párokból végtelen sok létezik.

A prímszámok – azaz a csak 1-gyel és önmagukkal osztható pozitív egész számok – ritkuló sorozatot alkotnak, vagyis a szomszédos prímek közti átlagos különbség egyre nagyobb, és a prímek jegyeinek számával arányos. Éppen ezért szokatlan és izgalmas, ha egy adott számnál kisebb különbség végtelen sokszor előfordul.

Csang azt bizonyította be, hogy végtelen sok olyan prímszámpár létezik, amelyek között a különbség kevesebb mint 70 millió. Bár a 70 millió nagyon soknak tűnik a 2-höz képest, valójában nagyon nagy eredmény, mert egy véges szám. „A végtelen sokszor előforduló szomszédos prímpárok közti különbség nem pontosan 70 millió, Csang eredménye azt mondja ki, hogy 70 millió alatt marad” – kommentálta kérésünkre a cikket Pintz János akadémikus, az MTA Rényi Intézet kutatóprofesszora. „Igazából nincs nagyon nagy jelentősége annak, hogy ez a differencia 70 millió, 1 millió vagy 70 ezer, csak az a lényeg, hogy végtelen sokszor valamilyen konkrét véges határ alatt marad a szomszédos prímek különbsége.” Pintz szerint egyébként várható, hogy a nem túl távoli jövőben a 70 millió tovább csökken, de a 2 elérése még messze van.

Magyar vonatkozású előzmények

Pintz és két kollégája, Goldston és Yıldırım 2005-ben már publikált egy cikket, amiben máshogy közelítették a problémát. „Bebizonyítottuk, hogy ha egy akármilyen kis szorzóval beszorozzuk a prímszámok közti átlagos különbséget, más szóval, ha az átlagos prímhézag bármilyen kis törtrészét vesszük, akkor már találunk végtelen sok olyan prímpárt, amik között a különbség az átlagos különbség adott kis hányadánál  kisebb. Ennél tovább menve, később azt is igazoltuk, hogy a prímszámok közti átlagos különbség négyzetgyökénél kisebb különbségű szomszédos prímpárokból is végtelen sok van” – mondta Pintz professzor.

Sőt, a kutatók a fentiekhez képest a nagyon kicsi 16-os számhoz is eljutottak: „Bebizonyítottuk azt is, hogy ha egy meglevő tételt lehet egy bizonyos irányba javítani, akkor végtelen sokszor legfeljebb 16 a szomszédos prímpárok közti különbség. Ez azonban egy plauzibilis, de bizonyítatlan feltételezésre épült – nem sci-finek számító feltételezésre (a feltevés szinte minden matematikus szerint a valóságban igaz), de azért mégiscsak olyanra, ami nincs bizonyítva, és valószínűleg nagyon messze vagyunk még a bizonyításától.”

A professzor szerint Csang munkája felhasználta az ő gondolataikat, és kiegészítette azokat újakkal. „Sikerült Csangnak egy meglepő javítást adnia, és ezzel megközelítette az ikerprím-sejtést. Talált egy közbenső utat, hogy valamilyen értelemben javítsa az általunk is használt tételt” – mondta a magyar kutató. Fontos megjegyezni, hogy egy-egy ilyen bejelentés után sokszor hónapokig, sőt évekig ellenőrzik a kutató eredményét, mielőtt publikálnák, Csang munkáját viszont igen rangos matematikusok átnézték már, és az egyik legerősebb matematikai folyóirat, az Annals of Mathemathics elfogadta közlésre. A szintén prímszámokkal kapcsolatos abc-sejtés tavalyi állítólagos bizonyítását ezzel szemben még mindig ellenőrzik.

Megérteni egyszerű, igazolni nehéz

A matematikus úgy véli, az ikerprím-sejtés nagyszerűsége abban rejlik, hogy egy általános iskolai ismeretekkel rendelkező diáknak is elmagyarázható, ugyanakkor nagyon nehezen igazolható sejtés: „A prímek az egész számok szorzásra tekintett struktúrájának alapkövei, de a prímek összeadásával-kivonásával kapcsolatos, nagyon gyakran igen egyszerűen megfogalmazható problémák sokszor nagyon nehéznek bizonyulnak.”

Hasonló például a Goldbach-sejtés is, ami kimondja, hogy minden páros szám előáll két prím összegeként, minden ötnél nagyobb páratlan szám pedig három prím összegeként. Ezen sejtés páratlan számokra vonatkozó (a páros esetnél lényegesen könnyebb) esetének érdekessége, hogy H. Helfgott által történt bizonyítása éppen Csang professzor ikerprím-sejtéssel kapcsolatos tételével egy napon lett tegnap bejelentve. A különbség az, hogy a páratlan számokra vonatkozó, úgynevezett páratlan Goldbach-sejtés esetében I.M. Vinogradov már több mint 75 éve bebizonyította, hogy valamilyen igen-igen nagy szám feletti összes páratlan számra igaz. Bár ez a határ olyan nagy volt, hogy az egyszerű számítógépes kipróbálás ezen „csillagászati” határig reménytelen lett volna.

Az ikerprím-sejtés, és a valószínűleg még nehezebben igazolható páros Goldbach-sejtés főleg a matematikusokat izgatja, gyakorlati alkalmazása nincs – vagy inkább úgy pontosabb fogalmazni, hogy egyelőre nem ismert. Néhány évtizede ugyanis még úgy gondolták, hogy a prímszámoknak eleve nincs alkalmazási területük, de ez körülbelül harmincöt éve megváltozott. Ma már a prímszámokat rendszeresen használják a kriptográfiában, azaz adatok titkosításában a mindennapi életben.

Köszönjük, hogy olvasol minket!

Ha fontos számodra a független sajtó fennmaradása, támogasd az Indexet!