Péter, Pál
21 °C
32 °C

A magyar, aki lándzsás pápuáknak tanított matekot

2014.03.28. 18:10
Matematikai játékaival világszerte gondolkodásra késztette a gyerekeket Dienes Zoltán, aki idén januárban, 97 évesen hunyt el. A mágusnak is nevezett matematikatanár az iskolában rájuk váró szenvedésektől akarta megóvni a diákságot, és teljesen új alapokra helyezni a matematikaoktatást. Ugyanis szerinte a tudás a környezetből adódó problémák megragadásának képessége. A szputnyiksokktól fejbe vert amerikaiak nyitottak voltak az új módszerekre. Így az USA-ban is örömmel fogadták a hatvanas években a matematikai struktúrákat megtestesítő, felfedezésre épülő eszközeit, melyekkel a diákok egyenrangú alkotótársai lehettek egymásnak és a tanárnak. A kezdeti lelkesedés ellenére ma már ritkán emlegetik a nevét.

Pápua Új-Guinea egy feltörekvő városában járunk a hatvanas években. Egy külső kerületben található kunyhószerű iskolában Dienes éppen az oktatási kísérletét kezdte. Kipakolta a földre egyik játékának darabjait, és annyit kér a gyerekektől, hogy csináljanak vele, amit akarnak. Döbbent, tanácstalan csend lett a szobában. A gyerekek meg se mozdultak. Aztán pár játékos feladattal sikerült felébreszteni a bennük szunnyadó kíváncsiságot, és hamarosan heves vitatkozás zaja töltötte be a teret.

A tanfelügyelők egybehangzó véleménye az volt, hogy ennél sokkal hasznosabb dolgokat lehetne csinálni az iskolában. Egyértelműen nem vették észre a kezdeti logikus gondolkodást, a matematikai szabályok felfedezésének első neszeit – vélekedik Dienes a Játék az életem című önéletrajzi könyvében az esetről. Így olyan iskolába szeretett volna ellátogatni, ahol nincsenek felügyelők. Másnap egy bennszülött sofőr egy folyó és az óceán találkozásához vitte, és közölte, hogy innen gyalog kell menni. Dienes tudakozódására, hogy a sofőr segít-e neki az eszközökkel teli dobozokat az iskolához cipelni, egyértelmű nem volt a válasza. A krokodilok – magyarázta egyszerűen a sofőr. Dienes átkelt a veszélyes folyón, hogy eljusson a parttól két mérföldre található, garantáltan felügyelőmentes iskolába. Így kezdődött az új-guineai matematikatanítási kísérlet, amelyen több mint két évig dolgozott. Különös tehetsége volt ahhoz, hogy a világ minden pontján azonnal megtalálja a közös nyelvet a gyerekekkel.

Kun Béla elrepül

Apja, Dienes Pál tanár és matematikus volt, részt vett Kun Béla 1919-es sikertelen kommunista rendszerében, így rövid bujkálás után egy Bécs felé tartó hajón menekült el az országból. A könyvtárukat is el kellett adni, hogy a kapitányt ki tudják fizetni. Édesanyja, Dienes Valéria matematikát, filozófiát és zenét tanult, az ország első női professzora és Babits másodunokatestvére volt. Az író Halálfiai című regényében örökítette meg a fiatal lányt, ahogy materializmusról, metafizikáról és a legújabb tudományos eredményekről vitatkozik az egyetem folyosóin. Édesanyjával és bátyjával, Gedeonnal 1920-ban, az Osztrák-Magyar Monarchia feldarabolásának idején hagyták el az országot. Éltek Ausztriában egy Montessori gyermekotthonban, itt kezdtek németül érteni és beszélni, majd Nizzában egy kommunához csatlakoztak – amit Isadora Duncan világhírű táncművész bátyja vezetett –, és itt tanultak meg franciául. Mielőtt visszatértek az országba egy bajor kisvárosban éltek apjával és újdonsült feleségével ötösben – egy fiatal lányt vett el, aki budapesti bujdosása idején ellátta.

Bátyjával, aki később nyelvész és tánctörténész lett, különféle játékokat és nyelveket találtak ki maguknak. Kifejlesztettek egy tapintásos ábécét. Egy-egy érintés a helyétől és az érintés módjától függően egy-egy betűt jelentett. Tízéves koruk körül saját nyelvet szerkesztettek: sazlának nevezték. Nagyon egyszerű nyelvtant fabrikáltak, amit egy tankönyvben írtak le, és szótárban tették közzé az általuk gyakran használt szavak sazla megfelelőjét. Fantáziaföldrajzot is játszottak, ahol minden országról részletes térképet készítettek, út- és vasúthálózatokkal, menetrendekkel – az utazásokat valós időben számolták, és általában úgy időzítették, hogy éppen iskolában legyenek ezek alatt. Országaik sokszor majdnem háborús konfliktusokba keveredtek.

Nyaranta apjuk vitte őket keresztül-kasul a világban. „Évente legalább kétszer világnézetet váltottunk” – emlékszik vissza, ugyanis apja marxista volt, anyja katolikus. Egy-két nyarat Olaszországban töltöttek, ahol megtanultak olaszul és angolul. Az iskolai matekot rendszerint unta, inkább differenciálegyenleteket oldott meg a pad alatt. Tanára szerencsére nem büntette, hanem külön beszélgetésekre invitálta. Tizenhét évesen úgy döntött, Angliába költözik apjához. Itt tanult meg folyékonyan angolul. Diákként furcsának találta az angol matematikaoktatást, ahol leginkább bonyolult számolási utasításokat kellett végrehajtani. Nem problémákat oldottak meg, csak készen kapott tételeket alkalmaztak. Hamar rájött, hogy többet tud a tanárnál, de inkább nem szólalt meg az órán, hogy ne hozza zavarba.

Legyünk konstruktívak

Közepes eredményekkel végezte el a matematikaszakot Angliában – a hegyi túrák és a randevúk izgalmasabbnak bizonyultak a tanulásnál. Majd doktori disszertációját a matematika alapjairól írta. Ezt követően rövidebb-hosszabb ideig vállalt tanári állást az országban, de nem tudta magát hosszú távon elemi- vagy középiskolákban elképzelni, így egyetemi állás után nézett. Több angliai egyetemen is megfordult. Az egyetemi közegben sokkal inkább elemében érezte magát, az oktatás mellett matematikai kutatásra is jutott ideje. A halmazelméletben ért el eredményeket, majd Leicesterbe ment tizenhárom évre.

Egyetemi óráin is próbálta a struktúra felől megmutatni a matematikát: azt mondta a hallgatóknak, felejtsenek el mindent, amit eddig tanultak, ő újraépíti velük a matematikát. Azt vallotta, hogy matematikailag nézni a matematikát egészen más dolog, mint bonyolult problémamegoldó stratégiákat bemagolni. De kevés hallgató érdeklődését tudta felkelteni, csak évekkel később lettek sikerei, amikor alanyai elemi iskolás gyermekek voltak.

Ezidőtájt kezdett azon morfondírozni, hogy kutatómatematikusként mekkora hatást tud kifejteni. Egyre inkább úgy érezte, hogy a matematikatanítás változtatása által sokkal többet segíthetne. Erősödött benne a meggyőződés, hogy jelenleg nem jól tanítják ezt a tárgyat; ami számára szép és izgalmas, az másnak ijesztő és unalmas. Elkezdte összekapcsolni eddigi kutatói munkáját a tanulási folyamatokkal: a matematika alapjairól vallott nézetnek köze kell, hogy legyen a matematika tanulásához. Sokan zárt tudománynak tartják, amely kőbe vésett axiómarendszeren alapszik. Míg például Émile Borel, aki Dienes egyik példaképe volt a matematikusok között, sokkal konstruktívabbnak és ezáltal nyitottabbnak képzelte ezt a diszciplínát. Ezek a gondolatok vezették el ahhoz a felismeréshez, hogy a gyermekek személyisége és matematikai fogalomalkotása között szorosabb kapcsolat lehet. Erre talált bizonyítékot kísérletei során a Londoni Egyetemen, ahol pszichológiai tanulmányait folytatta. Arra jutott, hogy a gyermekekre sokkal inkább jellemző a konstruktív gondolkodás, mintsem az analitikus, és hogy egy tízéves gyermek többre képes bizonyos matematikai problémák megoldása terén, mint ahogy azt akkoriban hitték.

Ugyanis Piaget szerint, aki a gondolkodási képességek egyik legismertebb kutatója volt, meghatározott, hogy a gyermek egy adott életkorhoz kötött fejlődési szakaszban mire képes. „Dienes szerint ez attól függ, hogy milyen jellegű feladatot milyen módon adunk oda neki. Ha játékosan adjuk oda ezeket a matematikai struktúrákra épülő feladatokat, akkor meglepően korán meglepően magas szintű gondolati teljesítményeket képes nyújtani” – magyarázza a különbséget Klein Sándor matematikus-pszichológus, aki a hetvenes években dolgozott együtt Dienessel.

Dienes elkezdte kidolgozni azt a módszertant, amely konstruktív, építkezésre alkalmas helyzeteket hoz létre a matematikaórákon. Egyik területe a helyiérték kérdése volt. Úgy látta, hogy azért nem értik kellően mélyen a diákok a helyiértékeket, mert a hatványfogalom kialakítása nem volt megfelelő. Erre találta ki a Magyarországon Dienes-készletként ismertté vált többalapú készletet: ezek a kettőtől kezdve tizenkettőig az adott szám hatványinak fizikai modelljei voltak. Másik eszköze a zárójelezés nehézségeit akarta megoldani: csíkok, négyzetek, szöges táblák és kétkarú mérlegek alkották ezt a játékot, amit algebrai kísérletező készletnek nevezett. Ezekkel remekül illusztrálhattak különböző egyenleteket, azonosságokat és ezáltal a zárójelfelbontások tanítását könnyíthették meg.

Egy kiválasztott iskolában megkezdte a kísérletezést, ahol olyan eredményesen foglalkozott a gyerekekkel, hogy a kontrollosztályok diákjai is ki akarták próbálni a játékokat. A kísérlet osztályról osztályra, iskoláról iskolára terjedt. Nagyüzemben taneszközöket gyártottak, Dienes elkezdett tanártovábbképzéseket tartani. Itt a gyökök, logaritmusok és hatványok összefüggéseit feldolgozó alkalom után az egyik tanár hálálkodva ment oda hozzá: „Évek óta tanítom a logaritmus fogalmát, de csak most értettem meg igazán.” A módszertanát és a matematika megújításáról szóló gondolatait az Építsük fel a matematikát! című könyvben foglalta össze, mely 1960-ban jelent meg először. Hatalmas siker lett, több meghívást kapott kutatásai folytatására – többek között Jerome Brunertől a Harvardra.

A szputnyiksokktól fejbe vert Amerika

 „Az, hogy az oroszok fellőtték a Szputnyukiot, sokkszerű volt az amerikaiaknak, akik szerettek a Szovjetunióra mint valami barbár ázsiai országra gondolni” – mondja Klein Sándor. Az amerikai vezetés a természettudományos oktatást kiáltotta ki bűnösnek, így előtte soha nem látott pénzt áldoztak oktatási reformok megvalósulására. Ebbe a mozgalomba jól beleillett Dienes felismerése, hogy a matematikaórákat a gyerekek jelentős része utálja, a matematika oktatása eredménytelen. Így a hatvanas évek elejétől a hetvenes évek közepéig az úgynevezett Új matematikai mozgalom minden támogatást megkapott az amerikai kormánytól.

De a megújítók között sem volt konszenzus az elképzelésekről: például Bruner rendkívül fontosnak tartotta a szimbólumokat és a matematika nyelvét, nehezen fogadta el Dienes véleményét arról, hogy egyes gyermekeket elijeszthetnek ezek a jelölések, akadályozhatják a megértést. Bruner úgy tartotta, hogy kezdetben volt az ige, míg Dienes úgy, hogy kezdetben volt a káosz.

Dienes nem volt elégedett az amerikai reformmal, úgy látta, hogy ez a felső öt-tíz százaléknak megfelelő lehet, a többieknél viszont nem hozna változást, csak mást tanulnának ugyanolyan rossz módszerrel. Az ő javaslatait alig építették bele a reformokba, többek között, mert megvalósíthatatlannak gondolták.

Közben elkészült a Vigotszkij, az egyik legismertebb orosz-szovjet pszichológus kísérleti eszközei által inspirált logikai készlet. Ez talán az egyetlen, Magyarországon is széles körben alkalmazott eszköze Dienesnek, amely különböző színű, méretű, lyukas vagy teli műanyag darabokból áll.

2010041502

Bevonulás Óceániába

Fontos állomás volt az ausztráliai négy év Dienes életében, itt az adelaide-i egyetem pszichológiai intézetében dolgozott. Malcolm Jeeves kognitív- és neuropszichológussal kísérleteikben azt vizsgálták, hogy melyik a hatékonyabb: először egy bonyolultabb struktúrát megtanulni, utána egy egyszerűbbet, mely ennek a része, vagy fordítva. Előbbi tűnt célravezetőnek például a többjegyű számokkal való írásbeli műveletek tanításának vizsgálatakor. Előtérbe helyezték az arány fogalmát, és a szorzást és az osztást is ennek speciális eseteként vezették be. Ugyanígy tettek a törtek, százalékok és tizedesek tanulmányozásában is.

A helyi iskolarendszerben itt is hamar népszerűvé vált kísérlete. A szülők is felfigyeltek rá, kérdezgették az iskolákban, hogy miért lehet egyes osztályokban érdekes matematikát tanulni, míg máshol nem. A szülők olyan lelkesek voltak, hogy maguk legyártották egy hétvége alatt a szükséges felszerelést. Ausztráliában is elkezdődött a tanártovábbképzés, a minisztérium is támogatta a módszert, és a média is érdeklődést mutatott iránta: hat félórás adást készített az egyik ausztrál csatorna arról, hogy hogyan oldanak meg matematikai problémákat a gyerekek a kezükbe adott matematikai eszközökkel. Főműsoridőben sugározták.

Ekkor jött a megkeresés: kipróbálná-e Pápua Új-Guineában is a módszerét? És így jutunk el a krokodilokhoz. A krokodilokat a tanításhoz is felhasználta itt: kikötőt építettek, és a gyerekek először krokodilok, majd kenguruk voltak, és meg kellett vizsgálniuk, hogy hova tudnak eljutni vízen és hova szárazföldön. Ezzel alapozta meg a különböző topológiai fogalmak – a kint, a bent, vagy az összefüggőség – megértését. Ám nem volt könnyű egy ennyire különböző környezethez adaptálni a módszert. Sok tanár nagyon nehezen értette meg a játékok lényegét, és a készlet elemeinek tulajdonságait bifláztatták be a diákokkal: „ez egy nagy, vastag piros négyzet” – ismételtették. A megértés hiányát ennél ijesztőbben is megtapasztalta Dienes. Egy nap az egyik bennszülött szülő rontott rá hatalmas íjjal, nyilakkal és lándzsával a kezében: „Játék nem jó! Mikor én gyerek, én ölni! Ezek nem ölni, csak játszani!” – majd megmutatta az emberi ujjakból készült nyakláncát. Dienes nagy nehezen kivágta magát a fenyegető helyzetből. A fölöttük elhúzó repülőre mutatott, és azt mondta, a gyerekek játszanak, és ennek segítségével majd olyan repülőket vezethetnek. Talán ez a példa is jól mutatja kissé naiv idealizmusát.

A trójai faló és hatásai

Pszichomatematikai kutatóintézet alapítására hívták Kanadába, a sherbrooke-i egyetemre. Jelentős tartományi és szövetségi támogatással, több mint negyedmillió dollárral vághatott bele a matematikatanulás pszichológiájának további kutatásába. Ezalatt már Európában is folytak tanítási kísérletei: Angliában, Franciaországban, Magyarországon, Olaszországban és Németországban.

„Azóta sem találkoztam olyan vezetővel, aki túl kreatív volt a saját szervezetéhez” – meséli Klein Sándor, aki 1972-73-ban járt Sherbrooke-ban. Dieneshez a magyarországi matematikatanítás megújítóján, a komplex matematikatanítási kísérlet vezetőjén, Varga Tamáson keresztül vezetett az út. Klein az itthoni reform pszichológiai hatásvizsgálatát végezte el, így ennek folyományaként hívta ki Dienes.

A matematikus trójai falónak nevezte saját módszerét: a matematikatanítás megújítása csak egy apropó volt, a fő célja az volt, hogy a személyiség integrációs folyamatát segítse. A játékos matematikatanítás egyik következménye az volt, hogy a gyerekek megszerették a matematikaórákat és megtanulták a hagyományos számtanórákon megkövetelt tananyagot is. A másik hatás az volt, hogy minden ismeretlen feladatot kihívásnak tekintettek a gyerekek – szemben a kontrollcsoporttal, ahol egy furcsa, az órán tanultaktól kicsit is eltérő kérdés már megrémítette és lebénította a legtöbb diákot. Mivel az egyéni munka mellett jelentősen az együttműködésre építettek Dienes játékai, így a különböző szociális készségek is kimutathatóan fejlődtek.

Az idealizmus korlátai

A hatvanas-hetvenes években virágzó és támogatott módszert szép lassan parkolópályára kényszerítették. Dienes nem illeszkedett be kellőképpen az észak-amerikai hatalmi viszonyrendszerbe. Itt találkozott azzal, hogy nem érdemek szerint, hanem „politikailag korrekt” módon osztják a doktorikat. Ő nem így tett, ráadásul véleményét sem rejtette véka alá az egyetem rektora előtt. Innentől kezdve folyamatosan romlott a viszony az egyetem vezetősége és közte – pedig a kísérleti iskolákban szembetűnően jobban ment minden, mint az átlagos intézményekben. A végső csapásként a dékán a továbbiakban nem hosszabbította meg a megbízását az egyetem szűkös költségvetésére hivatkozva.

zoltan dienes-obit (2)

Váltani kényszerült: Manitobába költözött családjával, ahol a Brandon University-n a bennszülött tanárokkal és gyermekekkel foglalkozott. Ám itt is a hatékonyság és a takarékosság lett a jelszó: hat hét alatt kellett volna egy-egy tanfolyamon felkészíteni a bennszülött tanárokat egy egészen új szemléletmódra. Ez szakmailag vállalhatatlan volt, így Európába költöztek. Itt folyamatosan ingázott Anglia és Németország között: hol iskolai kísérlet zajlott, hol matematikatanárokat képzett az egyetemen. Olaszországban egy tankönyvsorozat összeállítását bízták rá az elemi iskola öt évfolyama számára. Itt a pszichológiailag helyes és a még eladható közötti szűk határmezsgyén kellett egyensúlyoznia. Az első verziókban sikerült, ám később a piac diktált: látszólag modern, de belül konzervatív tankönyvsorozattá torzultak az eredeti elképzelések, amelyek viszont kelendőbbek voltak. Végül visszaköltöztek az amerikai kontinensre: Wolfwille-ba hívták az Acadia Egyetemre, ahol tovább folytatta iskolai kísérleteit, a továbbképzéseket és az európai körutakat.

Amikor Bharath Sriraman, a montanai egyetem matematikaprofesszora 2007-es interjújában azt firtatta, hogy mégis miért szorították vissza sok helyen, Dienes csak annyit felelt, hogy azért, mert politikailag nem kívánatosak voltak az elképzelései. Bruce Dienes, Zoltán egyik fia egy brazíliai tapasztalatot osztott meg: miután a bemutatóiskolai látogatás után az apja egy átlagos iskolában is ugyanolyan eredményt ért el, sose engedték többé vissza. „Politikailag inkorrekt lett volna ugyanabban a képzésben részesíteni az általuk kevésbé intelligensnek tartott népréteget, mint az elitet” – mondta Bruce.

A másik akadály az volt, hogy módszerével egészen új hatalmi viszonyokat teremtett az osztályban. Nem a tanár volt a tudás egyedüli forrása, nem ezzel teremtett magának tekintélyt. Sok tanár megijedt attól, hogy így elveszti a hatalmát és ezáltal a kontrollt is. Amerikában az is aláásta a módszert, hogy az elemi iskolás gyerekek sokkal mélyebben megértették a matematikai struktúrákat, ugyanúgy számoltak négyes és tízes számrendszerben, a tanárok viszont nem tudtak velük lépést tartani. Klein Sándor az óralátogatások során sokszor találkozott azzal az alapvető aggállyal is, mely a játékos tanítással kapcsolatos volt. „Sokan úgy álltak hozzá, hogy az óvodában játszunk, iskolában tanulunk, munkahelyen dolgozunk. Ez a mesterséges szétválasztás nagyon helytelen” – mondja Klein. Meglátása szerint kevés helyen tudott tartósan gyökeret verni a módszer. Ennek fő oka Klein szerint, hogy nem lehet erőszakkal játszásra bírni a tanárokat. Dienes a helyi kezdeményezésekre, az alulról építkezésre esküdött. „Nem lehet országosan bevezetni bizonyos tanulási módszereket, tananyagokat. A pedagógia nem központosítható. Jobban mondva központosítható, de a kudarca előre jósolható” – vélekedik Klein.

„Igyekeztem megszabadítani a gyerekeket a rájuk erőszakolt eszmék béklyóitól” – írta Dienes a kilencvenes évek végén. Ám aggályai is voltak eredményességével kapcsolatban. „Amikor olvasom a hatvanas évekből a jelentéseket, azt érzem, hogy mit sem változott a helyzet: vajon nem pocsékoltuk el az időnket és a közpénzeket? Hiszen a helyzet ma sem sokkal jobb!”