Magyar kutatók alkották meg a „matematikai őssejtet”

Alul hengeres, felül élesebb ívet képező gipszfaragványt tartok a kezemben. Úgy néz ki, mint egy precízen lecsiszolt szakóca, és akárhogy teszem le, mindig visszagördül a hengeres talpára. Domokos Gábor, a BME Építészmérnöki Kar Szilárdságtani és Tartószerkezeti tanszékének oktatója "matematikai őssejtnek" nevezi, és szemmel láthatóan büszke rá. Teheti: a professzornak – aki egyébként az MTA legfiatalabb tagja – egy példaképe sejtését sikerült igazolnia az idommal.

Gömböc, a címlapsztár

Domokos a rendszerváltás idején találkozott Vlagyimir Igorjevics Arnolddal, a világ talán leghíresebb matematikusával, aki többek között a káoszelmélet kidolgozásában alkotott maradandót. Akkori beszélgetésük emlékezetes volt: a tudós úgy sejtette, hogy létezik olyan homogén (vagyis egyetlen anyagból készült) test, amelynek csak egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzete van, és arra bátorította a magyar fiatalembert, hogy találjon ilyen idomot. "Küldjön egy levelet, ha megtalálta!" – búcsúzott el a tudós magyar kollégájától.

Domokos ezek után szinte kötelességének érezte, hogy foglalkozzon a problémával, és a tanszék egy ifjú oktatója, Várkonyi Péter közreműködésével bő másfél évtizeddel később, tavaly tavasszal megszületett a Gömböc fantázianevű test. A Gömböc egy tekintélyes tudományos folyóirat, a Mathematical Intelligencer legújabb számának címlapján is megjelent. Utoljára 1979-ben fordult elő, hogy magyar produktum került a tekitélyes szaklap első oldalára, akkor a Rubik-kocka virított a borítón.

Keljfeljancsi ólom nékül

Az egyensúlyi helyzeteket tökéletesen sima felület és földi gravitáció mellett lehet értelmezni. A kockának például hat stabil egyensúlyi helyzete van a hat lapján, a csúcsainál pedig nyolc instabil egyensúlyi helyzete, ugyanis a csúcsára állított kockára ható erők is egyensúlyban vannak – más kérdés, hogy ez annyira instabil helyzet, hogy a gyakorlatban csak pillanatokig lehet előidézni. A kocka egyensúlyi helyzeteit Domokosék (6,8)-cal jelölték.

A matematika szempontjából kiemelt érdekességű az egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzettel rendelkező – vagyis (1,1)-es – test. Ilyen a gyerekjátékként ismert kejlfeljancsi, ám az nem homogén idom, hiszen legalább két anyagból készítik, amelyek közül az egyik az egyensúlyt biztosító nehezékként szolgál. Homogén kejlfeljancsit eddig még nem ismert a tudomány, bár többen sejtették, hogy létezik ilyen, például a fent említett V. I. Arnold.

10000/n dollár

A magyar kutatók csavaros módon igazolták a test létezését. Először síkban gondolkoztak, és ott hamar bebizonyították, hogy ott nem létezik (1,1)-es síkidom. A bizonyítás során ugyanis ellentmondásra jutottak. A súlypontnál kettéosztották a síkidomot, és a súlypontból kiinduló sugárfüggvénnyel számolva azt kapták, hogy a síkidomnak létezik egy "vastagabb" és egy "vékonyabb" fele, vagyis a kiindulási pont mégsem tekinthető súlypontnak.

Az elmúlt évtizedekben többen megpróbálták igazolni, hogy háromdimenziós térben sem létezik (1,1)-es test, de senkinek sem sikerült. Várkonyiék azt feltételezték, hogy létezhet ilyen idom, ha a vastagabb és a vékonyabb fele úgy ölelkezik össze, hogy éppen kiegyensúlyozzák a testet. A Gömböc felfedezéséhez tehát a síkban leírt cáfolat vezetett.

A Mathematical Intelligencer cikke egyébként nem adja meg pontosan a test adatait. "Ezt mi szabtuk feltételként. Nem akartunk mindent publikálni, mert kicsit úgy érezzük, még előtte vagyunk a dolognak" – magyarázza Domokos. A szerzők most azon dolgoznak, hogy egy lehető legkisebb lapszámú, közelítő poliédert találjanak a testhez. Egy (4,4)-es testnek egy tetraéder a közelítő poliédere, az (1,2)-es testeknek pedig egy 19 sík lapból álló idom. Az (1,1)-es testek poliédere viszont Domokosék szerint több ezer lapból állhat. "Ki is írtunk egy pályázatot, hogy 10000/n dollárt fizetünk annak, aki n-oldalú poliédert talál a Gömböchöz. Úgy érzem, nem fogunk elszegényedni" – nevet a professzor.

Teknősstratégiák

Domokos szerint csak a felfedezése után kezdték megérteni a test jelentőségét, ami túlmutat a matematikán: "Nagyon messze vezet, nem véletlen, hogy Arnoldot is foglalkoztatta, ő csak nagy dolgokon gondolkozott." Az eddigi leglátványosabb eredmény a párhuzam a teknőspáncélokkal. A magas páncéllal rendelkező teknősök ugyanis a Gömböc alakjához meglepően hasonlító héjat növesztettek, ami segíti őket, ha kibillennek az egyensúlyukból. "A lapos páncélú teknősök a nyakukat használva fordulnak vissza, ha megfordítjuk őket. A magas páncélúak nem tudják használni ilyesmire a nyakukat, úgy tűnik, náluk maga a páncél lett ilyen visszaállási eszköz" – magyarázza a tudós.

A kutatók most a teknőspáncélokat igyekeznek osztályokba sorolni. Ehhez már felvették a kapcsolatot az állatkerttel, nagy számú teknős híján először körülbelül kétezer kavicsot rendszereztek egyensúlyi helyzeteik száma szerint. Az eddigi vizsgálatok alapján úgy tűnik, hogy a páncél alakjától és egyensúlyi helyzeteitől függ, hogy a hátukra fordított teknősök milyen stratégiával fordulnak vissza. De elképzelhető, hogy a kavicsok osztályozásának geológiai szempontból is lesz értelme: Domokosék ugyanis meglepve tapasztalták, hogy a különböző helyszínekről gyűjtött kavicsok között más arányban fordulnak elő az egyes modellek.

Amikor a felfedezés visszhangjairól kérdezem, Domokos elkomorodik. V.I. Arnoldnak súlyos balesete volt nem sokkal a találkozásuk után. A világhírű tudós a fején sérült, és valószínű, hogy már nem fog érdemben reagálni a Mathematical Intelligencerben közölt cikkre. A kutatások mindenesetre hozzájárultak ahhoz, hogy a másik szerző, Várkonyi Péter posztdoktori ösztöndíjat nyerjen a Princeton Egyetemen. A Gömböc értéke tehát inkább eszmei. "Ezért nem lehet pénzt kapni" – mondja Domokos. "Viszont több kutató próbált már ilyen testet találni, és tőlük érkeztek visszajelzések, hogy na, úgy látszik, valakinek sikerült."