Orosz matematikus igazolta a Poincaré-sejtést?

Nagy várakozás övezi Grigorij Perelman munkájának teljes publikálását, lehetséges ugyanis, hogy az orosz matematikus megoldotta a világ legnagyobb matematikai talányainak egyikét, a Poincaré-problémát. Az orosz tudományos akadémia Szteklov intézetének munkatársa részletekben hozza nyilvánosságra eredményeit. Perelman munkájáról tavaly november óta keringenek pletykák, ekkor tette ki első írását az internetre, még kinyomtatás előtt.

Valahol Oroszországban

A teljes bizonyítást természetesen még meg kell jelentetnie egy matematikai folyóiratban, majd a megjelenést követően két év várakozási periódus következik, mely lehetőséget ad a bírálatra. Perelman ezután lehet várományosa a Clay Matematikai Intézet egymillió dolláros díjának, melyet a világ hét legnagyobb matematikai problémájának megoldásáért ajánlottak fel. A matematikus nem kívánt nyilatkozni a bizonyításról beszámoló New York Timesnak, mivel egyelőre túl korainak tartja a nyilvánosság elé lépni.

Perelman munkamódszere hasonlít Andrew J. Wiles pricetoni professzoréhoz, aki egyedül dolgozott padlásszobájában Fermat utolsó tételén. A harmincas éveinek végén járó orosz matematikus, bár korábbi eredményeivel nagy megbecsülést szerzett, az elmúlt nyolc évet visszavonultan, a problémán dolgozva töltötte valahol Oroszországban.

Perelman múlt héten nagyszámú hallgató előtt tartotta meg első előadását a tárgyban az MIT-n (Massachusetts Institute of Technology). A matematikus jövő héttől a New York-i egyetemen is előadássorozatot indít.

Topológia

A Poincaré-probléma a topológiai egyik központi kérdése. Poincaré francia matematikus 1904-ben jutott el a háromdimenziós tér leírásával kapcsolatos híres feltételezéséhez, melyet bizonyítani azonban nem tudott. A kétdimenziós terek topológiai leírása már korábban, az 1800-as években megtörtént, ezek segítségével az összes lehetséges kétdimenziós tér, azaz valamennyi felület (mint például a Föld felszíne) matematikai eszközökkel leírható.

Poincaré azt a kérdést tette fel, hogy a kétdimenziós térre vonatkozó egyenletek átalakíthatók-e úgy, hogy a háromdimenziós térre érvényesek legyenek. Valószínűnek tartotta, hogy igen, de bizonyítani nem tudta. A hatvanas évektől kezdve a matematikusok minden további dimenzióra átalakították az egyenleteket (a négydimenziós tér leírását Michael Freedman készítette el 1982-ben), de egyik eljárás sem működött három dimenzióban. A probléma hírhedtté vált arról, hogy több tucatnyi olyan megoldása született, mely később hamisnak bizonyult.

Mint annak idején megírtuk, szinte pontosan egy éve egy brit matematikus is bejelentette, hogy bizonyította a Poincaré-sejtést. Martin Dunwoody levezetésében a kollégái rámutattak lehetséges hiányosságokra, de még esetében sem telt le a két év várakozási idő.

Geometrizációs sejtés

Perelman eredményei ráadásul túlmutatnak a Poincaré-problémán, erőfeszítései elsősorban a Thurston-féle geometrizációs sejtés bizonyítására irányulnak. A hetvenes évek elején William P. Thurston professzor felvetette, hogy a három dimenziós terek felfoghatók sok homogén darab együtteseként, melyek csak egy bizonyos módon állíthatók össze. Thurston számos esetre bizonyította a felvetést, amiért megkapta a Fields-érmet, a legmagasabb matematikai kitüntetést. A sejtés teljes bizonyításával egyúttal megoldódna a Poincaré-probléma is, mely annak egy alesete.

Perelman egy átlagoló eljárást használt, melyet Richard Hamilton dolgozott ki. Hamilton a módszerrel számos esetre bizonyította a geometrizációs sejtést, de egyes eseteknél problémákba ütközött. Perelman Hamilton munkáját egészítette ki, így ha a bizonyítás helyes, valószínűleg osztozni fognak a Clay Intézet díján.

A szakértők bizakodóak Perelman erőfeszítéseivel kapcsolatban, de sokan óvatosságra intenek, emlékeztetve arra, hogy nincs még publikálva a teljes bizonyítás, és még a legmegbízhatóbb matematikusok is véthetnek hibákat.