Hogyan ne legyen mindenki hülye matematikából?

A műveleti sorrend messze nem a legkörmönfontabb része a közoktatásban tanított matematikaanyagnak, mégsem sikerült elsajátítania a népesség nagyon is jelentős hányadának. Mérnökök, tanárok írtak az elmúlt hetekben olvasói leveleket, és szenvedélyesen érveltek a rossz megoldás mellett. A magyar társadalom aktuálisan legfontosabb sorskérdésében (8 ÷ 2(2+2) = ?) még ismert kutatók is megszólaltak, voltak közöttük, akik - mintegy behódolva a dühös tömeg véleménye előtt, tartva a konfliktustól - azt mondták, hogy a kifejezést többféleképpen is lehet értelmezni.

Mindez jóval túlmutat egy Facebook-mém jelentőségén, és a matematikaoktatás rendszerszintű problémáira világít rá. Az oktatás hatékonysága kimutathatóan alacsony. A középszintű érettségiken az eredmények majdnem fele (45 százalék) bukás vagy kettes, a vizsgázók 10-15 százaléka csak az írásbelit követő szóbeli érettségin megy át - a saját tanára előtt, akinek elemi érdeke, hogy átrugdossa a tanítványát.

100 év változatlanság

Csapodi Csaba szerint, dacára az egymást látszólag sűrűn követő oktatási reformoknak, a matematika tananyaga a lényegét tekintve az elmúlt száz évben keveset változott. Az algebrát és a geometriát az I. világháború idejének diákja is ugyanúgy, vagy nagyon hasonlóan tanulta, az újdonságot a gráfelmélet, a statisztika, a valószínűségszámítás és a függvénytan jelenti.

"A matematika sokak számára (ha megy nekik, azért, ha nem, azért) mumusként hat, szinte nincs ember, akinek ne lenne róla véleménye. Ez bizonyos szempontból jogos, hiszen a matematika központi szerepet játszik a későbbi tanulmányokban és a mindennapi életben is. Ezért is rettentő veszélyes, ha az általános iskola első éveiben a kisdiák egy elrontott dolgozat vagy rosszul értelmezett feladat miatt kétségbeesik, és a család elkönyveli őt “rossz matekosnak”. Ez elvághatja a későbbi előmenetelét, önbizalmát, és

- mondta az Indexnek Csapodi Csaba. Szerinte az alapvető gond, hogy a matematikaoktatás túl korán várja el a gyerekektől, hogy még a felnőttek számára is nehezen felfogható absztrakt konstrukciókat kezeljenek. És ne gondoljuk, hogy az absztrakció a vektorok skaláris szorzatával (két irányított szakaszt összeszorozva egy számot kapunk!) vagy a határérték-számítással kezdődik a gimnáziumban. Már általánosban is tömegével terhelünk tízéves gyerekeket olyan elméletekkel, amelyek az elképzeléséhez nagyon keveset segít a józan ész és a mindennapokban remekül működő praktikus gondolkodás.

Nehéz mínusz

Ott vannak például a negatív számok. Talán csak a hőmérő az egyetlen mindennapi életben is megjelenő, kézzel fogható eszköz, amelyen értelmezhetők a nullánál kisebb számok. A zéró alatti értékeket az ókor és a kora középkor legnagyobb matematikusai utasították el azzal, hogy a semminél semmi sem lehet kisebb. A matematikatörténet hatalmas mérföldkövét jelentette, amikor felfedezték/feltalálták a negatív számokat, hosszú évszázadok gondolkodása után.

Amikor megkérdezem a matektanári záróvizsgákon az egyetemen a hallgatóktól, hogy hogyan magyaráznák meg a diákoknak, hogy (-2)*(-3) miért +6, a nagy többség elvérzik, nem tud válaszolni. Az egyetemet végzett fiatal tanárok sincsenek erre felkészülve, akkori miért várjuk el egy ötödikes-hatodikos gyerektől, hogy értse?! Persze meg lehet jegyezni, hogy mínusz kettőször mínusz három az hat, de mégis csak jobb lenne, ha olyan dolgokat tanítanánk, amik érthetők is.

- hoz egy kissé zavarba ejtő példát Csapodi Csaba. Itt most egy pillanatra hagyják abba az olvasást, és indokolják meg magukban, hogy két negatív szám szorzata miért lesz pozitív! (Az nem ér, hogy azért, mert ez a szabály.)

A matematikus példája szerint a mindennapi életben a tartozás testesíti meg a negatív számokat. Ha két embernek tartozunk három forinttal [2*(-3)], az olyan, mintha egynek tartoznánk hat forinttal (tehát -6 forintunk van). Ha ezt megfordítjuk, és két ember tartozik nekünk három forinttal, akkor hat forinttal több (+6) pénzünk van virtuálisan. Nem állítjuk, hogy ettől könnyebb lett a megértés.

De nem is kell, hogy negatív legyen a szám. Már alsóban, az írásbeli osztás tanulásakor előfordul, hogy a tanulónak papíron kell egy ötjegyű számot elosztania egy kétjegyű számmal. A megoldás során háromszor kell fejben elosztania egy százas nagyságrendű számot egy tízes nagyságrendűvel, hogy meg tudja becsülni, hogy a hányados egyes helyiértékeire milyen érték kerül. Ha ezt a műveletet a diák 80 százalékos sikerességgel meg tudja oldani, az már négyes szint. Viszont egyetlen ilyen osztás megoldásához háromszor kell a műveletet elvégeznie, így a siker valószínűsége 0,8³ ≈ 0,5 lesz,

Elég a piaci matek?

Semmi meglepő nincs abban, hogy matematikából túl sok és túl absztrakt a tananyag, miközben a matekórák száma ötödével csökkent az elmúlt évtizedekben. Nyilvánvaló lenne a megoldás: csökkenteni kell a megtanulandó anyagot, főként az elvont teóriákat kéne kigyomlálni belőle. Csakhogy az ördög a részletekben lakozik: mennyivel és mivel kéne csökkenteni? Hol van a szükséges absztrakció alsó határa, ami alá már nem szabad menni? Nem veszélyeztetjük-e ezzel a tehetségesebb gyerekek későbbi fejlődését? Nem ragad-e le így a társadalom az összeadásnál és a kivonásnál (ha egyáltalán eljut odáig)?

Erre nem lehet jó választ adni, mert a diákok matematikai képességei nagyon eltérőek. Minden osztályban van két-három gyerek, aki nagyon erős matekból, játszva lehagyják a többieket. Ilyenkor jön az ellenérv, miszerint "nehogy már a gyengék húzzák vissza a jókat”. Ez jogos felvetés, csak az a baj, hogy a magyar matematikaoktatás jelenleg elsősorban azzal két-három erős matekossal foglalkozik, miközben hagyja a fennmaradó kilencven százalékot lemaradni.

Mindez érthető hozzáállás a tanár részéről, hiszen az okos, versenyeken szereplő, matematikából továbbtanuló diákok hoznak neki sikerélményt, és ezek alapján értékelik az ő munkáját is. Ugyanakkor a teljes társadalom szempontjából az erőforrások hatékonyabb felhasználását szolgálná, ha visszavennénk az elitizmusból, és a kiemelkedő képességű tanulókra szánt tanári idő egy részéből inkább a lemaradókat hoznánk elfogadható szintre.

„Én egy vezető gimnáziumban dolgozó tanárként annak idején napokat töltöttem azzal, hogy egy diákot, aki az országos középiskolai tanulmányi verseny döntőjében 22. lett volna, felhozzak a 18. helyre. Ha ezt az időt a gyengébbek korrepetálására fordítottam volna, talán összességében előrébb lépett volna a világ." - emlékszik Csapodi Csaba, aki tagja az új nemzeti alaptanterv matematikai részét kidolgozó munkacsoportnak is. Erről elmondta, hogy az előirányzott reformok általános szellemisége szerint a minimális elvárásokat lejjebb fogják vinni. A mostani tananyag néhány, a legtöbb tanuló számára túlságosan elvont elemét ki fogják venni az követelmények közül (hogy konkrétan melyek ezek az elemek, az egyelőre nem publikus).

Az iskolák szabadon meghatározhatják, hogy a NAT alapkövetelményein felül mit és mennyit várnak el a tanulóiktól. Mindössze a minden iskola számára kötelezően előírt tananyagból törlik - vagy a felsőbb évfolyamok irányába tolják el - őket.

Az abszolút minimum

A matematika hasznosságával kapcsolatban két szélsőséges álláspont él az emberekben. Van, aki szerint semmi értelme az egész tantárgynak, hiszen csak olyan problémákkal foglalkozik, amelyek matematikusok nélkül nem is léteznének. Mások - jellemzően azok, akik sikerélményt szereztek az iskolában - úgy gondolják, hogy a matematika az univerzum működésének alapja, és a világból semmi sem érthető meg nélküle. Mindenesetre beállítottságtól függően ítéli meg mindenki, hogy mennyi matekot életbevágóan szükséges a gyerek fejébe verni az iskolában. De ésszerű határt kell szabni. Vajon hol legyen ez a határ?

Csapodi Csaba szerint ez attól függ, hogy milyen tanulóról beszélünk. Arról, aki befejezi a tanulmányait 16 éves korában (amikor adott esetben még csak a nyolcadik osztályt járja), vagy arról, aki valamilyen matematikai megalapozottságú terület felé tanul tovább. Ezek az alapkövetelmények (amelyeket többségükben már az általános iskola félideje táján el kell sajátítaniuk a diákoknak a mai rendszerben) azonban mindenki számára érvényesek:

• Alapműveletek. Fontos, hogy a gyerek fejben becsülni tudja a műveletek eredményeit, hogy felismerje, ha hibázik a számológépen.
• Százalékszámítás. Ez az alapja a kamatok meghatározásának, és boltban leakciózott termékek valós értéke felismerésének is.
• Geometriai alapfogalmak. Kell tudni területet, térfogatot számolni, ha ki akarja festeni a szobát, meg tudja határozni, hogy mennyi festékre van szüksége.
• Grafikonok értelmezése. Felismerje, ha a cselesen felrajzolt diagramok segítségével próbálják félrevezetni.

Nem célunk a matematika lebutítása. De azt látni kell, hogy amikor a ma is használatos érettségi tananyagot száz éve meghatározták, akkor ezt a legjobb négy százaléknak kellett átadni (ennyien érettségiztek akkor a diákok közül). Ma ugyanez az arány 60 százalék. Ezt a konfliktust nagyon nehéz jól feloldani.

(Címlap és borítókép illusztráció: Fillér Máté / Index)