Előd
10 °C
24 °C
Index - In English In English Eng

Megfejtették az aranymetszés titkát

2019.09.20. 14:03 Módosítva: 2019.09.20. 14:57

Az irracionális számok azok a valós számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. A leghíresebb közülük a π, a √2, illetve az aranymetszés aránya. Ez utóbbi a Φ ≈ 1,618, és azt fejezi ki, hogy két rész, a és b hogyan aránylik egymáshoz, ha a kettő összege, a+b úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb a kisebbhez. Az irracionális számok nem csupán a matematikusok agyszüleményei, számos helyen megjelennek a természetben. Úgy tűnik, az emberi szem számára az aranymetszésnek megfelelő arányok, például épületek, művészeti alkotások, természeti jelenségek alapvetően szépnek tűnnek.

A legnagyobb probléma az irracionális számokkal, hogy hiába nem lehet őket pontosan kifejezni tizedestört alakban (hiszen végtelen, nem ismétlődő törtjegyeket tartalmaznak), mégiscsak rendszeresen számolni kell velük a mérnököknek és a tudósoknak. A probléma évezredek óta nem hagyja nyugodni a matematikusokat. A legenda szerint a görög matematikus, Hippaszosz fedezte fel az irracionális számokat az i. e. V. században, majd ezt óvatlanul elmondta a vele egy hajón utazó pythagoreus matematikusoknak (más változatok szerint éppen utóbbiak tették a felfedezést, Hippaszosz pedig ezt a tudást pénzért árulta). Mindenesetre az irracionális számok nem fértek bele a pythagorasi, tökéletességre épülő világképbe. A dolognak csúnya vége lett:

Hippaszoszt az irracionális számok miatt a tengerbe hajították, és megfulladt.

Ma már ritkábban ölnek a matematikusok az irracionális számok miatt, de korántsem tudnak mindent róluk. Egy fontos kérdés például az, hogy az irracionális számok értékét közelítő törtek adhatnak-e végtelenül pontos eredményt, vagy van határa a közelítésnek. A π-t (3,14...-t) egész jól közelíti például a 157/50, de a 22/7 még jobban.

De vajon valaha meg lehet-e találni a lehető legjobb közelítést?

1941-ben Richard Duffin fizikus és Albert Schaeffer matematikus egy eljárást javasolt annak megállapítására, hogy különböző nevezőjű törtekkel milyen hibahatáron belül lehet bármilyen, végtelen számú irracionális számot közelíteni. Sejtésükben - minthogy egészen eddig nem volt rá bizonyíték, így tételnek nem nevezhették - amellett érveltek, hogy minél nagyobb a tört nevezője (a szám, ami a törtvonal alatt van), ugyanakkora hibahatár mellett annál több irracionális számot lehet vele megközelíteni.

Ezt viszonylag egyszerű belátni, hiszen a nagy nevezőjű törtek közelebb vannak egymáshoz a számegyenesen, mint a kicsi nevezőjűek. Az 1/2 és a 2/2 között 1/2 a távolság, az 1/100 és a 2/100 között viszont csak 1/100. Így ha elegendően megnöveljük a nevezőt, akkor a hibahatárok egy idő után össze fognak lógni, és akkortól minden olyan irracionális számot, amely a vizsgált törtek közé esik, lehet közelíteni a segítségükkel.

A Duffin-Schaeffer-sejtés (illetve mostantól -tétel) persze ennél sokkal bonyolultabb a valóságban, itt van egy pontos leírás ínyenceknek.

A sejtést csak most sikerült bizonyítania Dimitris Koukoulopoulosnak és James Maynardnak, a Montreali és az Oxfordi Egyetemekről. A bizonyításhoz gráfelméleti eljárásokat használtak. Ezekről Maynard így nyilatkozott:

Talán arra volt szükségünk (a megoldáshoz), hogy sikerüljön elfelejtenünk a probléma összes lényegtelen részét, és csak arra az egy-két tényezőre tudjunk koncentrálni, ami igazán különlegessé teszi (a sejtést). A gráfelméleti módszer használata nemcsak az eredmény bizonyítását tesz lehetővé, hanem sokat elárul a probléma hátterében rejlő struktúráról is.

(The National Herald, Scientific American)