Bizonyították az ikerprím-sejtést véges testekre

Az ikerprím-sejtés valószínűleg egyidős a matematikával, hiszen egyes feltételezések szerint már Euklidészt is foglalkoztatta 2300 évvel ezelőtt. A sejtés mindmáig az egyik legnépszerűbb megoldatlan matematikai probléma, alig van olyan matematikus, aki pályája során egyszer sem játszott el a gondolattal, hogy megtalálja a bizonyítását (esetleg cáfolatát).

Egészen eddig azonban ez senkinek sem sikerül. Bár időnként fel-felbukkantak hírek a bizonyítás felé vezető úton tett áttörésekről, de az áttörés sohasem megoldást, hanem csak részeredményt jelent. Legutóbb hat éve jelentkezett egy viszonylag ismeretlen kínai matematikus, Jitang Csang, aki jelentős haladást ért el az ikerprím-sejtés bizonyításában. Jelesül azt bizonyította, hogy végtelen sok olyan prímpár létezik, amelyek között kevesebb a különbség, mint 70 millió. Noha ennek látszólag nem sok köze van az ikerprím-sejtéshez, de ez nincs így, hiszen a problémán agyaló kutatók Csang eredményeire támaszkodva léptek tovább, és értek el most újabb mérföldkövet.

De kezdjük az elején:

Ezekre a kérdésekre meglepően egyszerű a válasz. Az ikerprímek olyan prímszámpárok, amelyek között 2 a különbség. Nyilvánvaló példa a 3 és az 5, vagy a 11 és a 13, de rajtuk kívül még van néhány: csak 10¹⁸ alatt 808 675 888 577 436 ismert ikerprímpár létezik. A legnagyobb jelenleg ismert ikerprímpár a 2996863034895×2^1290000±1, de több erőforrás-megosztáson alapuló komputációs projekt is fut párhuzamosan a világban, amelyek folyamatosan keresik az egyre nagyobb és nagyobb ikerprímeket, így simán lehet, hogy mióta leírtam ezt, már van nagyobb is.

Amilyen egyszerű az állítás, olyan nehéz a bizonyítása, egészen eddig senkinek sem sikerült.  Kevés több évezredes bizonyítatlan matematikai probléma létezik, ezért számít világra szóló szenzációnak, hogy Will Sawin a Columbia Egyetemről, illetve Mark Shusterman a Wisconsini Egyetem matematikusa  feltöltött egy véges testekre vonatkozó bizonyítást  az arXiv kéziratszerverre (ahonnan bárki szabadon letöltheti, illetve megcáfolhatja, ha tudja – eddig senki sem tudta).

Sawin és Shusterman sem univerzális bizonyítást dolgozott ki, de a véges testekre (vagyis viszonylag kevés számot tartalmazó halmazokra) úgy tűnik, megoldódott az ikerprímek rejtélye. A matematikusok rendszeren próbálnak először fogást találni a matematikai problémákra a véges testek esetén (amikor csak kevés számmal kell dolgozniuk), majd siker esetén próbálják a felfedezést a végtelen sok számot tartalmazó rendszerekre is alkalmazni. A véges testeket Galois-testeknek is nevezik, Évariste Galois, 19. századi matematikus után, aki 21 éves koráig számos áttörést ért el a matematikában – de ekkor megölték egy párbajban.

Bár az ikerprím-sejtés legismertebb állítása szerint végtelen sok olyan prímpár létezik, amelyek különbsége 2, valójában a sejtés ennél sokkal általánosabb érvényű. Kiterjesztett változatában már azt állítja, hogy bármilyen páros különbséget választunk, mindegyik esetében végtelen számú prímpárt találhatunk. Például 4 a különbség a 3 és a 7, illetve a 7 és a 11 között, 6 a különbség a 7 és a 13, illetve a 13 és a 19 között és így tovább.

A sejtés mai formáját Alphonse de Polignac fogalmazta meg 1846-ban, de 160 évig gyakorlatilag semmilyen haladás nem történt a bizonyításban. Ekkor jött a fent említett Csang, aki újabb lökést adott a kutatásnak, és a következő években korunk legnagyobb matematikusai (például Terence Tao, akit a matematika Mozartjának is neveznek, és nemrégiben majdnem megoldotta a Collatz-sejtést) jelentősen szűkítették az azon ikerprímek közötti különbséget, amelyekre bizonyított, hogy belőlük végtelen számú fordul elő. A jelenleg elfogadott bizonyítások szerint végtelenül sok olyan ikerprímpár létezik, amelyek különbsége nem nagyobb 246-nál. A prímtávolság szűkítése az utóbbi években azonban megakadt, ezért is nagy szám, hogy most ezt egy lépésben sikerült az elvi minimumra, 2-re levinni.

Véges testekben teljesen másképp működnek a matematikai műveletek, mint a végtelen számok világában. Érdemes e testeket elképzelnünk úgy, mint az óra számlapját, a kör kerületén a véges számú elemmel. Például, ha az 1, 2, 3, 4 és 5 számokból alkotunk véges testet, akkor egy olyan órát kapunk, amelyen nem 12, hanem 5 vonás van feltüntetve. Az összeadás ebben az esetben úgy működik, mintha haladna az óra mutatója körbe, vagyis a 5 után újra az 1 következik. Ebből azért adódnak furcsaságok. A 4+3 eredménye például 2, mivel a 7 már az újabb kör 2-esére esik.

Még furcsább, hogy véges testekben nem léteznek azok a prímszámok, amelyekre köznapi értelemben gondolunk, amikor prímekről van szó. A véges testekben ugyanis minden szám osztható minden másik számmal. A 7 például nem osztható általában 3-mal, de a 7 ugyanoda (a 2-esre) esik az 5 elemű testet szimbolizáló órán, mint például a 12, így 7/3=4 ebben a világban.

De ha ilyenkor nem léteznek prímszámok, akkor hogy jön ide ez az egész? Nos, úgynevezett polinom prímek azért véges testekben is vannak. Polinom prím például az x²+x+2, mert nem lehet felbontani (faktorizálni) tovább már nem bontható polinomok szorzatára. Ezzel szemben az x²-1 nem prím, mert megfelel az (x+1)(x-1)-nek. Adódik hát a kérdés, hogy érvényes-e az ikerprím-sejtés a polinom prímekre is. Az x²+x+2 prím, és az x²+2x+2 is prím. A kettejük között x a különbség.

A véges testek esetén megfogalmazott matematikai problémák sok esetben egyszerűbben megoldhatók, ha geometriai problémává fordítják le őket. Ennek technikája olyan magától értetődő, hogy nem fárasztjuk vele olvasóinkat. Sawin és Shusterman is így járt el, a polinomokat pontokként ábrázolták a véges testek által definiált koordinátarendszerekben, majd felosztották ezt a koordinátarendszert aszerint, hogy a polinomoknak hány faktoruk (osztójuk) van. Így megtalálták a polinom prímeket, majd a következő lépésben az ikerprímeket, amelyekről újabb igen bonyolult eljárások segítségével bizonyították, hogy végtelen számú létezik.