Magyarok segítik egy marsi rejtély megfejtését

A BME kutatói (Domokos Gábor, Sipos András, Török Ákos) és a University of Pennsylvania geofizikusa, Douglas Jerolmack közös tanulmányukban összekapcsolták a hővezetés és a kopás egyenleteit, ezzel a földrajztudósok évtizedes, paradoxonnak tekintett problémáját oldották meg: alul mindig kisebb köveket találunk, de eddig nem volt egyértelmű, a folyókban kopnak-e a kavicsok (a kísérletek szerint az erózió túl lassú ehhez), vagy csak a kisebbeket viszi magával a sodrás. A tanulmány a nyílt hozzáférésű Plos One szaklapban jelent meg.

A kutatók a folyami kavicsok kopását matematikai modellel írták le, ilyet korábban senki nem csinált. „Ez a modell önmagában elég nehéz, úgynevezett geometriai parciális differenciálegyenlet. Ez az egyenlet megfeleltethető a hővezetés egyenletének, amely jobban ismert, részletesebben vizsgálták. Nekünk sikerült a kopás bizonyos tulajdonságait a hővezetésből jól ismert jelenségekkel összekapcsolnunk” – magyarázza Domokos Gábor, a BME Építészmérnöki Kar Szilárdságtani és Tartószerkezeti tanszékének oktatója, a világhírű test, a Gömböc egyik feltalálója.

Kicsi kavics újra száguld

A geológusok mérései szerint a folyómederben található kavicsok az alsóbb szakaszokon kisebbek és gömbölyűbbek, mint felül, a forráshoz közelebb. Az biztos, hogy a kavicsok felülete valamennyire kopik, ahogy a folyó sodorja őket, de a geológusok eddig nem voltak biztosak benne, miért kisebbek a kövek az alsó szakaszokon. Az egyik lehetséges magyarázat szerint a kopás csökkenti a méretüket, de az is lehet, hogy a folyó csak a kisebbeket szállítja magával, ezért találunk belőlük többet lefelé haladva.

A kutatóknak sikerült matematikai eszközökkel kimutatniuk, hogy a kavicsok méretének csökkenésében egyértelműen a kopás játssza a főszerepet. Két, jól elkülöníthető fázist is leírtak: a kövekről először lecsiszolódnak az élek és a kiálló részek, ezzel leggyakrabban mért méreteik (pl. átmérő, szélesség) nem változnak. A második fázisban pedig ezek a méreteik is csökkennek.

„A kísérletekből azt kaptuk, hogy a két fázis meggyőzően külön válik, emiatt, ha kézbe veszek egy kavicsot, akkor meg lehet mondani, hogy milyen fázisban van. Ez jó, mert a kavicsok alakja bonyolult, és szeretünk egyszerű kijelentéseket tenni. Úgy néz ki, hogy itt matematikailag megalapozottan tehetjük” – magyarázza a matematikus.

Millenniumi probléma

„Magát a geometriai egyenletet, amit mi néztünk, nagyon komolyan vizsgálták még a nyolcvanas években és a kilencvenes évek elején. Ez az egyenlet előtanulmány volt Poincaré-sejtés bizonyításához” – mondja Domokos. A sejtés bizonyítását Grigorij Perelman, világhírű, remete életet élő orosz matematikus végezte el. A kérdés része az úgynevezett millenniumi problémáknak, amelyek a matematika régóta fennálló megoldatlan, sokakat érdeklő kérdései.

Perelman 2010-ben megkapta a bizonyításért járó Clay-díjat, amit nem vett át, de azt kérte, hogy az érte járó egymillió dollár felét adják Richard Hamiltonnak, akinek korábbi számításaiból kiindulva megoldotta a problémát.

„Hamilton 1994-ben írt egy kicsi cikket, amiben azt vizsgálta, hogy ha ezt az egyenletet egy nem sima testből indítjuk el, hanem mondjuk olyanból, aminek vannak csúcsai és élei, például egy kockának, akkor milyen gyorsan fog leolvadni az éle, csúcsa, azaz milyen gyors a mi kavicsos vizsgálatunknak megfelelő első fázis” – magyarázza a BME oktatója.

Hamilton még nem gondolt kopásra, csak magát a geometriai egyenletet vizsgálta.

Számítógép nem volt nála, kísérletet sem csinált, csak matematikát. Egyetlen kis skiccet rajzolt a cikkbe: szerinte így nézhet ki az egyenlet, és szeretné látni a valóságban.

Sarkítás

A magyar-amerikai közös kutatás kiderítette, hogy tényleg igaza volt, amit vizsgált, annak valóban van fizikai jelentése: a folyami kavicsok kopásának elég jó modelljét adja: ez az úgynevezett Gauss-görbülettel arányos kopás. Olyan testek kopását írja le, amelyek náluk sokkal nagyobb testekkel ütköznek. Vannak egyéb kopások is, például homokkal vizsgálva már nem ez a jó egyenlet, de a folyami kavics általában a folyómederrel ütközik.

A szakirodalom áttekintése után a kutatók rájöttek, hogy az egyenletekből következő két elkülönülő fázis a geológusok több évtizedes problémájára adja meg a választ: a folyók felső folyásánál a geológusok mindig a kavicsok úgynevezett lineáris méretét nézik (például milyen hosszú, széles vastag). Ezek a méretek nem változtak felül, csak az alsó folyáson, de nem értették, miért.

– mondja Domokos.

Úgy kopik, ahogy a hő terjed

A magyar és az amerikai kutatók arra is rájöttek, hogy a jelenség szoros matematikai analógiát mutat a hővezetési egyenletekkel. Ha valahol hőt vezetek be egy testbe, akkor az úgynevezett lineáris hővezetési egyenlet szerint a hő végtelen sebességgel, azonnal elterjed, majd lassan elkezd kiegyenlítődni a hőmérséklet. Ez persze csak a hővezetési egyenlet linearitásából adódó jelenség, nem a fizikai valóság. (Az hővezetési egyenlet linearitása az analógia alapján a geometriai egyenlet esetén annak felel meg, hogy a vizsgált test közel gömb alakú.)

Ha azonban figyelembe vennénk a nemlineáris hatásokat, akkor a hő sem végtelen sebességgel érne el a test távolabbi pontjaiba, csak nagyon gyorsan. A geometriai analógia nyelvén ez azt jelenti, hogy nem gömbhöz közeli, hanem sokkal bonyolultabb test, például kocka kopását vizsgáljuk. 

Ami a hővezetésben a hőmérséklet (ami például testben, lapban terjed szét), az a kavicsoknál a Gauss-görbület: ezt változtatja a kopás. Ahogy a hőmérséklet szétterül a testben, úgy a görbület szétterül a test felszínén, és végül egy gömböt fogok kapunk, mivel a gömb görbülete állandó, mindenhol ugyanannyi. Itt már nem tud semmit csinálni a kopás, ezért, a matematika nyelvén fogalmazva, minden a gömbhöz tart. Ebben az analógiában a gömb az állandó hőmérsékletű test.

Ha veszünk például egy kockát, annak a lapjain nulla a görbület, a csúcsain viszont végtelen. Ha egy ponton hőt vezetünk bele, az szétfolyik benne, és lassan felmelegszik az egész test. Ez annak felel meg, hogy egy kocka gömbbé alakul.

A kavicsoknál kopás első fázisa a hővezetési egyenletet nézve annak felel meg, hogy mindenhol érezhetővé válik annak a pontszerű hőforrásnak a hatása, a második fázis pedig a kiegyenlítődési fázis

Forródróton a Mars

Domokos Gábor már korábban is vizsgálta a kavicsok kopását, hosszú távon tavalyi tanulmányuk is hozzásegíthet a Mars megértéséhez, mostani kutatásuk viszont még aktuálisabb: a Marson eddig folyami kavicsokat találtak: lekerekítetteket, ami lényegében azt jelenti, hogy találtak második fázisban lévő kavicsokat. Domokos szerint, ha találunk első fázisban lévő, az azt jelenti, hogy ott rövidebb ideig volt víz. 

„Azt lehetne megnézni, ha haladunk egy folyómeder mentén, van egy pont, ahol az első fázisból átmennek a második fázisba a kavicsok. Ezt a földi folyóknál már megbecsültük, viszonylag szűk tartományról van szó, körülbelül egy kilométer nagyságrendű távolságról” – mondja.

Ha a Marson találnák ilyen pontot a kiszáradt folyómederben, meg lehetne mondani, hogy az ottani viszonyok között ez mit jelentett:

egy marsi folyónak hol volt a forrása, legalábbis mennyire messze vagyunk attól, mivel a terepi viszonyokat már ismerjük. 

„Az igaz, hogy több változót nem ismerünk, de a matematikai viszonylatai univerzálisak, semmi köze nincs hozzá, hogy hol vagyunk a világegyetemben. Van kapcsolatunk a marsi missziókhoz, ha találnak valami érdekeset, akkor telefonhívásnyira vannak” – összegezte eredményeik súlyát a magyar kutató.