Tizennégyszer is nyerhetünk a lottón, csak nem egyedül kell játszani

Keszthelyi Gabrielláról nem az jutna az ember eszébe, hogy matematikus: az energikus megjelenés emblematikus, kék csíkkal a hajban nem épp komoly tudóskülső, pedig a BME Matematika Intézet adjunktusa és a HUN-REN Rényi Intézet tudományos munkatársa. Tavasszal pedig könyve is megjelenik a Typotex Kiadónál Milyen színű a valószínű? címmel.

Gabriella fő kutatási területe a dinamikai rendszerek elmélete, és több éve valószínűségszámítást is tanít. Boldogok lehetnek a diákjai, mert tisztán, világosan, közvetlenül magyaráz, hiányzik belőle a tudálékos matematikai okoskodás, nincs terminológia, amely hallatán kétségbeesve kapkodnánk a fejünket. Ha őt hallgatjuk, a matematika érdekes és kézzelfogható tudománynak tűnik. Könyvének apropóján beszélgettünk vele

• a véletlenekről;
• a lottó megnyerésének valószínűségéről;
• a mindennapi élet mintázatairól;
• a meteorológiai előrejelzésekről;
• és az élet determinisztikusságáról is.

A kérdésre, hogy milyen régóta kutatja a valószínűségeket, azt válaszolja, matematikusként eredetileg analízissel és dinamikai rendszerekkel foglalkozott, de mivel valószínűségszámítást tanít mérnököknek, nagyon foglalkoztatta, hogy mi teszi azt különösen nagy mumussá még a matematikán belül is. Nagyon sokszor hallotta a tanítványaitól is, hogy „a matek nem ment rosszul, de a valszámot sosem értettem”.

Az érdekelt, hogy mi akadályozza az embereket a valószínűségek megértésében, illetve megfelelő felmérésében. Arra jutottam, az egyik ok a kialakulásának körülményeiben rejlik, ezeket ugyanis sokáig a szerencsével és a végzettel asszociálták.

Az első feljegyzett valószínűségi probléma is szerencsejátékokhoz kapcsolódott.

Fej vagy írás

Gabriella a matematika és a szerencsejáték közötti kapcsolatot firtató kérdésre azt mondja: „vegyünk egy többfordulós játékot, melyben mindkét játékosnak egyforma esélye van a győzelemre (például egy szabályos érmét dobnak fel minden körben), és aki előbb megnyer valahány (előre rögzített számú) fordulót, az nyeri a játékot. Ha a játék valamilyen külső körülmény miatt félbeszakad, milyen arányban osszuk el a nyereményalapot?” – teszi fel a kérdést, megjegyezve, hogy a válasznak valahogy reflektálnia kell az eddig megnyert fordulók számára, de arra is, hogy hány fordulót kellett volna még megnyerni a végső győzelemhez. Tehát a tétet olyan arányban kell szétosztani, hogy milyen valószínűséggel nyert volna egyik vagy másik játékos. A fenti problémát de Méré lovag prezentálta Pascalnak, aki Fermat-val vitatta meg egy levelezésben, így maradt fenn.

A valószínűség fogalmánál fontos figyelembe venni, hogy a determinizmus nagyon sokáig uralta a tudományos diskurzusokat, és ha úgy gondoljuk, hogy minden eleve elrendelt, akkor nincs értelme a valószínűséggel foglalkozni. Sok tényező nehezítette a valószínűség beágyazódását a matematikába, az egyik ilyen az volt, hogy a valószínűségi érvelést sokáig lenézték, valami vagy be volt bizonyítva, vagy nem. Az, hogy egy állítás valamilyen valószínűséggel igaz, nem számított elég tudományosnak.

A másik probléma az volt, hogy a valószínűségre többféleképpen is lehetett tekinteni. Mennyi például annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával hatost dobunk? Gabi válasza:

Egyhatod, ha szabályos a kocka. Egyrészt amiatt, mert hat egyforma oldala van, és mindegyikre egyforma valószínűséggel esik. Másrészt tekinthetünk rá úgy is, hogy egy hosszú dobássorozatnak körülbelül egyhatod része lesz hatos.

Ez két fundamentálisan különböző szemléletmód, amit nagyon sokáig nem tudtak összeegyeztetni. No, és mi a helyzet a pénzfeldobással? Aki látta vagy olvasta a Rosencrantz és Guildenstern halott című Tom Stoppard-darabot/filmet, az tudja, hogy a pénzfeldobás milyen komoly jelzője lehet a körülményeknek is vagy egy furcsa élethelyzetnek. Például, ha mindig fejre esik az érme, akkor a Hamlet két mellékszereplője sejtheti, hogy valami nagyon nem stimmel, „kizökkent a világ”.

Idén IG Nobelt is adtak az érmedobás kutatásáért, ez az igazi Nobel-díj paródiája, ami tudományos, de főleg vicces ötleteket díjaz.

Egy 50 fős kutatócsoport 350 757 kísérletet végzett annak bizonyítására, hogy az érme feldobásakor valamivel nagyobb a valószínűsége annak, hogy ugyanarra az oldalra esik, mint ahonnan feldobtuk. Gabi pontosítja, hogy

bár az érmedobásra úgy tekintünk, mint a véletlen ikonikus példája, valójában teljesen determinisztikus folyamat, amelynek kimenetele attól függ, hogy milyen kezdeti sebességgel dobjuk fel, mekkora szögben tér el a dobás a függőlegestől, és hogy melyik oldaláról indítottuk.

Az érmedobás véletlensége abból a bizonytalanságból ered, hogy ezeket (sebességet, szöget) nem tudjuk pontosan lekövetni. Ez sokkal gyakoribb jelenség, mint gondolnánk. Például az időjárás-előrejelzésben is valami hasonló történik. „Maga az időjárás nem véletlenszerű folyamat, de van benne bizonytalanság, ami a mérésből adódik. Nem tudjuk az adatokat végtelen pontossággal megmérni, az ebből adódó hiba az előrejelzésnél nagyon megnő. Ezt úgy próbáljuk kiküszöbölni, hogy az adatoknak adunk egy kis mozgásteret, tehát egy picit hozzáadunk, egy picit levonunk belőlük, és szimuláljuk sok különböző (de egymáshoz végső soron nagyon közel álló) adatból kiindulva az időjárást.”

Például, mondjuk, ha a hőmérsékletet addig tudjuk megmérni, hogy 23,65 Celsius-fok, akkor kipróbáljuk 23,651; 23,652; 23,653 stb. fokokra. Így amikor ránézünk a telefonunkra, és azt látjuk, hogy másnap 70 százalék az esély esőre, az annyit jelent, hogy 100 különböző szimulációból összesen 70-ben lett eső.

Mennyi csokit kell enni a Nobel-díjhoz?

Gabriella megjelenésre váró könyvében arról is olvashatunk, hogy mi a valószínűségszámítás története, hogyan jelenik meg a valószínűség a mindennapjainkban. Mint mondja, a véletlenszerű események hajlamosak „csomósodni”, ez azt jelenti, hogy valamilyen esemény gyakorisága megnő rövid idő alatt, például a héten háromszor volt fejfájásom, noha egyébként nagyon ritkán szokott lenni. Van-e ennek valami oka, vagy csak véletlen? Ez volt a kérdés az 1990-es években Németországban a Krümmel atomerőműnél, ahol hirtelen megnőtt a leukémiás megbetegedések száma. Egyszerű lett volna az erőművet okolni, de többéves kutatás azt derítette ki, hogy nem volt összefüggés az atomerőmű működése és a betegek megnövekedett száma között.

Nagyon gyakori kérdés, hogy bizonyos jelenségek a véletlennek köszönhetők, vagy pedig meghúzódik valamilyen ok a háttérben? Egy 2012-es kutatás szerint egy ország lakosainak étcsokifogyasztása és az egy főre jutó Nobel-díjasok száma között erős összefüggés van.

Vajon Svájcnak azért van olyan sok Nobel-díjasa, mert sok étcsokit fogyasztanak, ami javítja a kognitív funkciókat? Vagy a sok tudós terjeszti, hogy étcsokit kell enni, mert az jót tesz?

– kérdezi Gabi, de nem, kiderült, hogy nem az a fontos, ki mennyi csokit eszik hol, hanem inkább az, hogy melyik országnak van sok Nobel-díjasa és jó gazdasági helyzete. Ez Svájc, ahol a lakosság pénztárcája elég vastag ahhoz, hogy az emberek jó minőségű drága csokit nagy mennyiségben fogyasszanak, közben pedig feltalálnak ezt-azt, ami Nobel-díjakat ér.

A matematikusnő kifejti, hogy ez emberi tulajdonság, gyakran közvetlen ok-okozati kapcsolatot feltételezünk ott is, ahol nincs. Egyfajta kognitív torzítás ez, amivel azért élünk, mert narratívákban szeretünk gondolkodni, és szeretjük a mintázatokat. „Agyunk evolúciósan is úgy működik, hogy ott is mintákat lát, ahol nincs, mert abból kevesebb baj van, ha olyan helyen feltételezünk mintát, ahol nincs, mintsem ha nem ismerünk fel mintát ott, ahol amúgy van.”

Van esély a lottónyereményre

A Milyen színű a valószínű? a lottónyereményeknek is szentel jó néhány oldalt, egészen pontosan annak, mennyi a valószínűsége, hogy megnyerjük. Talán annyi, mint Stefan Mandelnek, a román matematikusnak, aki tizennégyszer nyert? Módszerét a mai napig sem fedte fel, de annyit tudunk, hogy hatékonyan ki tudott válogatni számokat, amely segítségével kevesebb kombinációt kellett megjátszania, és így megnövelte a telitalálat esélyét. Ehhez azért még mindig elég sok szelvényre volt szükség, így összeállt három barátjával, és nyertek is.

Sikerült a búbánatos Romániából Ausztráliába emigrálnia, és ott folytatta a sikeres szerencsejátékozást az ausztrál és az amerikai lottón is.

De vajon ha egy kedd reggel munkába menet feltennék önnek az utcán azt a kérdést, elfogad-e most azonnal egymillió forintot, vagy 89 százalék valószínűséggel 11 milliót holnap, mit válaszolna? Gabi azt mondja, a legtöbben a biztos egymilliót választanák, „mert a nagyobb várható nyeremény helyett tutira megyünk”. Érdekes, és ez is matematika. Hozzáteszi azonban, hogy nem mindegy, milyenek a körülmények, ha többször (mondjuk, nagyon sokszor) játszhatunk, az teljesen más eset, mert ott tud érvényesülni a nagy számok törvénye, és hajlamosabbak is vagyunk kockáztatni. Ha viszont csak egy esélyünk van, ezen az ominózus kedd reggelen, ugye, akkor nem vállaljuk a rizikót, csak ha esetleg van elég pénzünk, és az az egymillió pont nem hiányzik sehonnan. Akkor lehetünk játékos kedvűek.

Véletlennek köszönhető, ha nyerünk, ezt nem is lehet előre jelezni, csak a tömeges eseményeket.

Magyarországon sok százezren lottóznak minden héten, és időről időre nyer is valaki, ezt nagy magabiztossággal ki lehet jelenteni. De hogy ki lesz a szerencsés, és mikor, azt már nem tudjuk.

A matematikusok kenyere

Ha még mindig nem kaptunk kedvet a matematikához, hallgassunk meg egy vicces történetet Gabriella tolmácsolásában Jules Henri Poincaréról, a francia matematikusról. Poincaré mindennap ugyanahhoz a pékhez járt, és felfigyelt arra, hogy nem mindig egykilós kenyeret kap. Persze benne van a pakliban, hogy semmi rosszindulat nincs a dolog mögött, csak véletlenül kicsit kevesebb lesz a kenyér tömege, de mekkora és milyen gyakori eltérés fér bele? Egy éven át mindennap lemérte a paint, és arra jutott, hogy az eltérés nem lehet a véletlen műve. Nem volt rest, feljelentette a hatóságnál a péket. Ezek után a pék még mindig nem érezte elég rosszul magát ahhoz, hogy egykilós kenyereket süssön, de ahányszor Poincaré bement a pékségbe, mindig a keze ügyébe kerülő legnagyobb kenyeret adta oda neki. A tudóst viszont ezzel sem lehetett átverni, másodszor is feljelentette.

Ilyen hétköznapi dolgokban is megmutatkozhat a valószínűségszámítás ereje. Keszthelyi Gabriella célja éppen az, hogy a mindennapi halandókhoz is közelebb hozza ezt az elvontnak titulált és rossz hírnek örvendő tudományt.

(Borítókép: Keszthelyi Gabriella 2024. november 21-én. Fotó: Töbvissi Bence / Index)