Matematikailag vezették le, hogy nem is volt olyan nehéz a matekérettségi

Vajon ki és milyen alapon mondhatja azt, hogy egy matematikaérettségi könnyű vagy nehéz? Idén is írtunk róla, hogy persze a tanárok könnyen mondják ezt, de a feladatokat mégis csak szegény diákoknak kell megoldaniuk életük első igazán stresszes vizsgáján. Idén a nemzetközi divatot követve nálunk is petíció indult az állítólag túl nehéz matematika írásbeli érettségi ellen, sőt szerveztek egy „közös sírásnak” nevezett tüntetést is az Emmi épülete előtt, amire végül csak néhány tucatnyian mentek el. 

A matekérettségi nehézségének vagy könnyűségének meghatározásához a legjobb magát a matematikát segítségül hívni. Ezt tette Koncz Levente matematikatanár, a tételkészítő bizottság elnöke és Csapodi Csaba egyetemi oktató, akik a matematikatanárok júliusi Rátz László Vándorgyűlésén a lehető legobjektívebb szempontok alapján vezették le azt, hogy az idei matekérettségi egyáltalán nem volt kiugróan nehéz a korábbi évekhez képest.

Ha könnyebb a feladatlap, jobbak az átlageredmények 

„Minket is megleptek a heves reakciók a matematikaérettségi nehézségéről, holott ez szöges ellentétben állt azzal, amit mi a tételek összeállításakor gondoltunk. A kommenteket, sajtóhíreket látva nem akartunk hinni a szemünknek, ezért néztünk utána az adatoknak” – mondta az Indexnek Koncz Levente. „Amióta ezt csináljuk, nagyon alaposan kutatjuk a dolog hátterét. Igyekszünk minél több adatot begyűjteni, hogy ne csak az megérzéseinkre hagyatkozva dolgozzunk a tételek összeállításánál.”  

Ha jobban belegondolunk, tényleg nem egyszerű minden évben azonos nehézségű feladatsort összeállítani a májusi matekérettségikre. A szokásjog azt mondja, az érettségi mindig legyen nagyjából olyan nehéz, mint a sokéves átlag. Ezt az igazságosság is megkívánja, hiszen az adott évben érettségizők az egyetemi felvételinél olyanokkal is versenyeznek, akik korábban vizsgáztak.

A dolgot talán a legegyszerűbben onnan foghatjuk meg, ha megnézzük, milyen átlageredmények születtek az elmúlt években a középszintű matematikaérettségiken. A mai érettségi rendszernek köszönhetően már minden vizsgaeredmény nyilvános – természetesen név nélkül. Feltételezhetjük, hogy ha valamelyik évben jobb az átlag, akkor a tesztsor valamivel könnyebb volt, amikor pedig alacsonyabb, akkor nehezebb. A kérdés az, vannak-e nagy eltérések az elmúlt évek átlagaiban. Itt látható a 2007 és 2019 közötti májusi középszintű matematikaérettségik összesített átlageredménye (megoldottsága).

Elsőre talán az tűnik fel, hogy milyen rosszak lettek az összesített átlagok: ha az összes középszinten érettségiző matekeredményét nézzük, 50 százalékosnál magasabb átlageredmény alig született. Ehhez tudni kell, hogy 2007 óta kivétel nélkül minden évben a középszintű matematikavizsga eredményei a legrosszabbak a tíz legnagyobb vizsgatárgy közül. Az elmúlt öt év átlagában a május-júniusi vizsgaidőszakban matematikából legfeljebb elégségesre vizsgázók aránya 41 százalék. A matematikatanárok szent meggyőződése ugyanakkor, hogy annál kevesebb matematikatudásra nem nagyon lehet érettségi bizonyítványt adni, mint ami jelenleg az elégségeshez szükséges, mondta Koncz Levente.

A mi szempontunkból azonban most fontosabb, hogy mekkora kilengések vannak az egyes érettségi időszakok átlageredményeiben. A feladatsorok közül csak kettőnek az átlageredménye nem esik bele a 44,4-50,4 százalékos intervallumba. Matematikailag kifejezve: a 13 érettségi átlageredmény terjedelme 8 százalék alatt marad, az adatok szórása pedig mindössze 2,4 százalék. Kijelenthetjük: ennél átlagosabb nem is lehetett volna az idei feladatsor, hiszen a korábbi 12 matematikaérettségi feladatlap átlagos megoldottsága 46,5 százalék volt, az idei feladatsoré pedig 46,7 százalék.

Például azért, mert a 2017-esnél vagy a 2018-asnál valamivel nehezebbnek bizonyult. 

Az emelt szintű érettségiken ennél jóval nagyobb különbségek voltak az elmúlt 12 évben. Ott az átlagos eredményesség 64,2–70,2 százalék között mozgott, de volt egy nagyon jó év (2007), amikor különösen könnyű lehetett az érettségi-felvételi, és egy fekete év, amikor mindössze 55,2 százalék lett az átlageredmény.

Feladatonként is számoltak

Koncz Levente és munkatársa azonban itt nem állt meg. Egy matematikaérettségi feladatlap különálló feladatokból áll, amelyek között lehetnek könnyebbek és nehezebbek is. Mi van, ha egy vagy néhány feladat okozza azt az érzést, hogy nehéz a matekérettségi? A magyar érettségi rendszerben a feladatok előzetes tesztelésére semmilyen lehetőség nincs, szabályos államtitokként őrzik az előkészített tételsorokat. A tételkészítőknek tehát úgy kell korábbi tapasztalataikra, illetve részben az intuícióikra hagyatkozva egymás mellé rakni a különböző feladatokat, hogy a könnyebb és nehezebb példák átlagos nehézségű feladatsort adjanak ki. 

Szerencsére ma már a fentieknél részletesebb adatok is segítik a feladatsorok összeállítóit. 2012 óta már egy olyan adatbázis is van, amely feladatonként mutatja az átlageredményeket, elért pontszámokat, sőt, 2018 óta már alfeladatonként is. Mivel ezeket az adatokat az iskolák önként küldik be az Oktatási Hivatal tételkészítő bizottságának, általában csak a vizsgázók 25-35 százalékáról kapnak részletesebb adatokat a szakemberek. Ez persze nem teljes adatbázis és szigorúan véve nem tekinthető reprezentatívnak sem, de a 2012-ig visszamenően összesen kb. 200 ezer középszintű vizsgázó által megoldott, összesen 144 feladat részletes adatai elég nagy mintanagyságot jelentenek ahhoz, hogy ezekből már következtetéseket lehessen levonni.

Az idei írásbeli vizsgát talán azért érte a legtöbb kritika az érettségiről kijövő diákok részéről, mert a feladatlap II. B része három nagyon hosszú szövegű feladatot is tartalmazott. A diákok szerint ezt sokáig tartott végigolvasni, és így megtudni egyáltalán azt, melyik milyen témakörhöz kapcsolódik. Koncz Levente és Csapodi Csaba ezzel kapcsolatban igyekezett három, intuitív módon megfogalmazott állítás igazságát statisztikailag alátámasztani vagy cáfolni.

1. Az idei középszintű matematikaérettségi feladatainak szövege hosszú volt.

Koncz és Csapodi 2007-ig visszamenőleg megmérték, hány karakterből állnak az érettségi feladatlapok hosszabb, szöveges feladatai. Azt látták, hogy a feladatlapok szövegeinek hosszúságában valóban tetten érhető a növekvő tendencia. A 2007 óta kitűzött 13 feladatsor közül az öt leghosszabb az elmúlt hat évben szerepelt. Tény az is, hogy az idei feladatsor II. része volt az eddigi leghosszabb a maga 5188 karakterével.

2. A hosszú feladatsorok és a hosszú szövegű feladatok nehezebbek, mint a rövidebbek.

Ez a mondat két állítást tartalmaz, amelyeket külön vizsgáltak. A két matematikus először azt nézte meg, van-e összefüggés a feladatsorok összesített hossza és az ott született átlageredmények között? A 2007 és 2019 közötti májusi középszintű feladatsorok II. részének karakterszámban mért hosszúsága és megoldottsága közötti korrelációs együttható –0,30 (lásd keretes írásunkat). Ez egy nem túl erős, de már érezhető összefüggést jelent. A negatív korrelációs együttható fordított összefüggésre utal, tehát a hosszabb feladatsort jellemzően kevésbé eredményesen tudják megoldani az érettségizők. Az adatok viszonylag alacsony száma miatt (13 év 13 feladatsora) azonban ebből csak óvatos következtetéseket lehet levonni, mert egy-egy kiugró adat ilyen kis elemszámnál jelentősen torzítani tudja a kapott eredményt.

A negatív korrelációs együttható fordított összefüggésre utal (tehát a hosszabb feladatsor megoldottsága jellemzően alacsonyabb), ezért az ábrán a jobb oldali tengelyen a megoldottsági skálát fordítva helyeztük el, annak kezdő és végpontját úgy megválasztva, hogy az összefüggés minél jobban látható lehessen.

Koncz Levente és Csapodi Csaba ezután a fenti állítás második részét vizsgálta meg: feladatonként nézték meg a szöveg hossza és az ott született eredmények összefüggését, amiről 2012 óta vannak adatok. Itt is kiszámolták a korrelációs együtthatókat, amelyek alapján azt látták: gyakorlatilag kimutathatatlan bármilyen összefüggés egy feladat szövegének hosszúsága és a feladatnál született átlageredmények között. Gondoljunk csak bele: lehetnek olyan rövid szövegű feladatok, ahol a vizsgázó vagy teljesen tudja a megoldást vagy egyáltalán nem, miközben egy hosszabb szövegben több fogódzót találhat, amiből ha teljes megoldásra nem is jut, de részpontszámokat könnyebb szereznie.

3. A hosszú szövegű feladatokat nem szeretik a vizsgázók, szívesen kihagyják ezeket, ha tehetik.

A két szerző kiszámolta az összefüggést a feladat hosszának szövege és a feladatot kihagyó vizsgázók aránya között is. Itt sem mutatható ki semmilyen korreláció.

Koncz és Csapodi alaposabb vizsgálatai tehát nem támasztják alá, sőt lényegében cáfolják azt a viszonylag széles körben elterjedt nézetet, hogy egy feladat nehezebb, ha hosszú a szövege. Az sem nyert igazolást, hogy a vizsgázók a hosszabb szövegű feladatokat szívesebben hagyják ki. Annyit azonban megengednek, hogy a hosszabb érettségi feladatsorok valamivel nagyobb valószínűséggel bizonyulnak nehezebbnek. Az összefüggés azonban gyenge, mert egy feladatsor nehézségét sok más tényező a hosszúságnál meghatározóbb módon képes befolyásolni.

Koncz Levente szerint az eset egyik tanulsága számukra az, hogy egy ilyen bonyolult szakmai kérdés is milyen könnyen válik szenzáció tárgyává a hagyományos és közösségi médiában, milyen gyorsan terjednek el teljesen megalapozatlan, szubjektív megállapítások és feltételezések, egészen odáig akár, hogy az emberek képesek politikai szándékosságot feltételezni a matematikaérettségi nehézsége mögött. Céljuk csupán az volt, hogy mindezt a számok nyelvén próbálják meg cáfolni.

Koncz Levente és Csapodi Csaba részletes cikke a Bolyai János Matematikai Társulat Érintő című online újságjában jelenik meg szeptemberben.