Mágia vagy matematika a hétköznapi jóslás?

A Társadalmi dilemma című 2020-as dokumentumfilm, amit a Netflixen is megnézhetünk, a közösségi média veszélyeit járja körül, ebben idézik Arthur C. Clarke tudományos-fantasztikus író mondatát:

Egy kellőképpen fejlett technikai megoldást már nem lehet megkülönböztetni a varázslattól.

A gondolatolvasásnak tűnő matematikai mágia a gyakorlatban úgy néz ki, hogy valaki, aki a „varázslat” birtokában van, megkér minket, gondoljunk egy számra, aztán végezzünk vele egyszerű aritmetikai műveleteket. Mikor már mi is belezavarodnánk az összeadásokba, szorzásokba, a mágus megmondja, hogy milyen számra gondoltunk. Hogy lehetséges? Ugyanúgy, ahogy a bűvészek kitalálják, melyik lapot húztuk a pakliból.

Lewis Carroll párnagondjai

Lewis Carroll, az Alice Csodaországban írója, oxfordi matematikus, anglikán pap és fényképész szívesen szórakoztatta barátait matematikai fejtörőkkel, újabb és újabb rébuszokkal. Élete utolsó tíz évében a matematikai abszurd foglalkoztatta. 1888-ban jelent meg a Curiosa Mathematica című műve, egyik elmés példája pedig a Pillow Problems című 1894-es könyvében látott napvilágot. Ez a következő: egy zsákban két labda van, piros vagy zöld színűek, vajon hogy tudjuk kitalálni, hogy melyik milyen színű, vagyis milyen színű labdát húzunk ki, ha random módon belenyúlunk a zsákba? Carroll szerint a helyes választ, a valószínűségszámításra alapozva, csak úgy tudjuk kitalálni, ha a zsákba bedobunk még egy piros labdát, így növeljük a piros labda valószínűségének esélyét. 

Joseph Bertrand francia matematikus 1889-ben hasonló feladvánnyal állt elő: három doboz közül kell választani, az egyikben két arany van, a másikban két ezüst, a harmadikban egy arany és egy ezüst. Ha az egyiket kiválasztja, és egy aranyat húz ki belőle, mennyi az esélye, hogy a benn maradt érme is arany lesz? A matematikus szerint 2/3 az esély, és ezért a felismerésért komoly tudományos elismerésben részesült.

Martin Gardner matematikusnak igaza lehetett, mikor azt mondta:

Egyetlen más terület sem létezik a matematikában, ahol olyan könnyű csőbe húzni a szakértőket, mint a valószínűségszámításban.

Kecske vagy autó?

Hasonló feladvány volt 100 évvel később a Monty Hall box (avagy Monty Hall-paradoxon), ami egy amerikai tévés vetélkedőből, a Kössünk üzletet-ből indult. A műsor végén a játékosnak három zárt ajtó mögötti meglepetésből kell választania: kettő mögött kecske van, de a harmadik egy új autót rejt. A játékos azt viheti haza, amit kiválaszt, de nem akárhogy kell választania: először csak rámutat az egyik ajtóra, ezután a műsorvezető (Monty Hall) a másik két ajtó közül kinyit egyet, amelyik mögött nem az autó van, majd megkérdezi a játékost, hogy akar-e módosítani a választásán. A játékos ezután vagy változtat, vagy nem, végül kinyílik az így kiválasztott ajtó, mögötte a nyereménnyel. A paradoxon nagy kérdése az, hogy érdemes-e változtatni, illetve hogy számít-e ez egyáltalán.

Egyszerű valószínűségszámítási eszközökkel kimutatható, hogy mindig érdemes váltani. 

A kártyatrükkök és logikai matematikai feladványok sokszor a de Bruijn-szekvencián alapulnak. A holland matematikus, Nicolaas Govert de Bruijn logikával, számelmélettel, kombinatorikával foglalkozott, és épp tíz éve hunyt el, 94 éves korában. A róla elnevezett szekvencia lényege, amit B(n) jelöl, 2n nullából és egyesből álló ciklikus sorozat, ahol minden lehetséges karakterlánc pontosan egyszer fordul elő a B(n) sorozat részkarakterláncaként. A de Bruijn-szekvenciát széles körben használják különféle kódolási típusokban és a DNS-szekvenálásban is.

A matematikai logika tanulsága tehát az lehet, ámuljunk el a fejtörőkön és kártyatrükkökön, hogy boldoggá tegyük a bűvészt, de közben gondolkozzunk is, mert a megoldás sokszor nem is olyan nehéz, mint amilyennek a sok keverés miatt tűnik.

(Borítókép: Shutterstock)