Árpád
-2 °C
4 °C

Magyar kutatók alkották meg a „matematikai őssejtet”

2007.01.24. 16:48
A BME oktatói bebizonyították a világ egyik leghíresebb matematikusának egy sejtését. A felfedezés eredménye egy furcsa idom, ami meglepő hasonlóságot mutat a teknősök páncéljával. A nem csak matematikai szempontból fontos kejlfeljancsiról az alakzat egyik felfedezőjével beszélgettünk.

Alul hengeres, felül élesebb ívet képező gipszfaragványt tartok a kezemben. Úgy néz ki, mint egy precízen lecsiszolt szakóca, és akárhogy teszem le, mindig visszagördül a hengeres talpára. Domokos Gábor, a BME Építészmérnöki Kar Szilárdságtani és Tartószerkezeti tanszékének oktatója "matematikai őssejtnek" nevezi, és szemmel láthatóan büszke rá. Teheti: a professzornak – aki egyébként az MTA legfiatalabb tagja – egy példaképe sejtését sikerült igazolnia az idommal.

Gömböc, a címlapsztár

Domokos a rendszerváltás idején találkozott Vlagyimir Igorjevics Arnolddal, a világ talán leghíresebb matematikusával, aki többek között a káoszelmélet kidolgozásában alkotott maradandót. Akkori beszélgetésük emlékezetes volt: a tudós úgy sejtette, hogy létezik olyan homogén (vagyis egyetlen anyagból készült) test, amelynek csak egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzete van, és arra bátorította a magyar fiatalembert, hogy találjon ilyen idomot. "Küldjön egy levelet, ha megtalálta!" – búcsúzott el a tudós magyar kollégájától.

Domokos ezek után szinte kötelességének érezte, hogy foglalkozzon a problémával, és a tanszék egy ifjú oktatója, Várkonyi Péter közreműködésével bő másfél évtizeddel később, tavaly tavasszal megszületett a Gömböc fantázianevű test. A Gömböc egy tekintélyes tudományos folyóirat, a Mathematical Intelligencer legújabb számának címlapján is megjelent. Utoljára 1979-ben fordult elő, hogy magyar produktum került a tekitélyes szaklap első oldalára, akkor a Rubik-kocka virított a borítón.

Keljfeljancsi ólom nékül

Az egyensúlyi helyzeteket tökéletesen sima felület és földi gravitáció mellett lehet értelmezni. A kockának például hat stabil egyensúlyi helyzete van a hat lapján, a csúcsainál pedig nyolc instabil egyensúlyi helyzete, ugyanis a csúcsára állított kockára ható erők is egyensúlyban vannak – más kérdés, hogy ez annyira instabil helyzet, hogy a gyakorlatban csak pillanatokig lehet előidézni. A kocka egyensúlyi helyzeteit Domokosék (6,8)-cal jelölték.

A matematika szempontjából kiemelt érdekességű az egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzettel rendelkező – vagyis (1,1)-es – test. Ilyen a gyerekjátékként ismert kejlfeljancsi, ám az nem homogén idom, hiszen legalább két anyagból készítik, amelyek közül az egyik az egyensúlyt biztosító nehezékként szolgál. Homogén kejlfeljancsit eddig még nem ismert a tudomány, bár többen sejtették, hogy létezik ilyen, például a fent említett V. I. Arnold.

Szemmel látható a hasonlóság a Gömböc és a csillagteknős páncélja között

10000/n dollár

A magyar kutatók csavaros módon igazolták a test létezését. Először síkban gondolkoztak, és ott hamar bebizonyították, hogy ott nem létezik (1,1)-es síkidom. A bizonyítás során ugyanis ellentmondásra jutottak. A súlypontnál kettéosztották a síkidomot, és a súlypontból kiinduló sugárfüggvénnyel számolva azt kapták, hogy a síkidomnak létezik egy "vastagabb" és egy "vékonyabb" fele, vagyis a kiindulási pont mégsem tekinthető súlypontnak.

Az elmúlt évtizedekben többen megpróbálták igazolni, hogy háromdimenziós térben sem létezik (1,1)-es test, de senkinek sem sikerült. Várkonyiék azt feltételezték, hogy létezhet ilyen idom, ha a vastagabb és a vékonyabb fele úgy ölelkezik össze, hogy éppen kiegyensúlyozzák a testet. A Gömböc felfedezéséhez tehát a síkban leírt cáfolat vezetett.

A Mathematical Intelligencer cikke egyébként nem adja meg pontosan a test adatait. "Ezt mi szabtuk feltételként. Nem akartunk mindent publikálni, mert kicsit úgy érezzük, még előtte vagyunk a dolognak" – magyarázza Domokos. A szerzők most azon dolgoznak, hogy egy lehető legkisebb lapszámú, közelítő poliédert találjanak a testhez. Egy (4,4)-es testnek egy tetraéder a közelítő poliédere, az (1,2)-es testeknek pedig egy 19 sík lapból álló idom. Az (1,1)-es testek poliédere viszont Domokosék szerint több ezer lapból állhat. "Ki is írtunk egy pályázatot, hogy 10000/n dollárt fizetünk annak, aki n-oldalú poliédert talál a Gömböchöz. Úgy érzem, nem fogunk elszegényedni" – nevet a professzor.

Teknősstratégiák

Domokos szerint csak a felfedezése után kezdték megérteni a test jelentőségét, ami túlmutat a matematikán: "Nagyon messze vezet, nem véletlen, hogy Arnoldot is foglalkoztatta, ő csak nagy dolgokon gondolkozott." Az eddigi leglátványosabb eredmény a párhuzam a teknőspáncélokkal. A magas páncéllal rendelkező teknősök ugyanis a Gömböc alakjához meglepően hasonlító héjat növesztettek, ami segíti őket, ha kibillennek az egyensúlyukból. "A lapos páncélú teknősök a nyakukat használva fordulnak vissza, ha megfordítjuk őket. A magas páncélúak nem tudják használni ilyesmire a nyakukat, úgy tűnik, náluk maga a páncél lett ilyen visszaállási eszköz" – magyarázza a tudós.

A kutatók most a teknőspáncélokat igyekeznek osztályokba sorolni. Ehhez már felvették a kapcsolatot az állatkerttel, nagy számú teknős híján először körülbelül kétezer kavicsot rendszereztek egyensúlyi helyzeteik száma szerint. Az eddigi vizsgálatok alapján úgy tűnik, hogy a páncél alakjától és egyensúlyi helyzeteitől függ, hogy a hátukra fordított teknősök milyen stratégiával fordulnak vissza. De elképzelhető, hogy a kavicsok osztályozásának geológiai szempontból is lesz értelme: Domokosék ugyanis meglepve tapasztalták, hogy a különböző helyszínekről gyűjtött kavicsok között más arányban fordulnak elő az egyes modellek.

Amikor a felfedezés visszhangjairól kérdezem, Domokos elkomorodik. V.I. Arnoldnak súlyos balesete volt nem sokkal a találkozásuk után. A világhírű tudós a fején sérült, és valószínű, hogy már nem fog érdemben reagálni a Mathematical Intelligencerben közölt cikkre. A kutatások mindenesetre hozzájárultak ahhoz, hogy a másik szerző, Várkonyi Péter posztdoktori ösztöndíjat nyerjen a Princeton Egyetemen. A Gömböc értéke tehát inkább eszmei. "Ezért nem lehet pénzt kapni" – mondja Domokos. "Viszont több kutató próbált már ilyen testet találni, és tőlük érkeztek visszajelzések, hogy na, úgy látszik, valakinek sikerült."

Köszönjük, hogy minket olvasol minden nap!

Ha szeretnél még sokáig sok ilyen, vagy még jobb cikket olvasni az Indexen, ha szeretnéd, ha még lenne független, nagy elérésű sajtó Magyarországon, amit vidéken és a határon túl is olvasnak, akkor támogasd az Indexet!

Tudj meg többet az Index támogatói kampányáról!

Milyen rendszerességgel szeretnél támogatni minket?

Mekkora összeget tudsz erre szánni?

Mekkora összeget tudsz erre szánni?