Több évszázados matematikai problémát oldott meg egy 32 éves nő

A körpakolást angolul sphere packingnek hívják, a sphere pedig gömböt jelent, de a lényeg minden értelmezés szerint ugyanaz: n dimenziós köröket kell adott területen belül optimálisan elhelyezni. A lényeg, hogy az objektumok a lehető legsűrűbben töltsék ki a rendelkezésre álló teret; eközben érinthetik, de nem fedhetik egymást. A sűrűséget ebben az esetben aszerint definiálják, hogy a körök a tér hány százalékát töltik ki.

A körpakolást, mint matematikai problémát, az teszi igazán izgalmassá, hogy az optimális megoldást pofonegyszerű a háromdimenziós gyakorlatba ültetni, de az elméletével évszázadok óta birkóznak a matematikusok. Egy 32 éves ukrán matematikus, Maryna Viazovska magasabb dimenziókban is megoldást talált a problémára.

Ágyúgolyó futam

A gyakorlati részt mindenki ismeri, aki látott már gúlába halmozott narancsokat. A zöldségesek is tudják, hogy ez az optimális elrendezés; ha így rendezzük el a gömböket, azok a rendelkezésre álló tér körülbelül 74 százalékát kitöltik. Ezt az alakzatot a dietetikusok vitaminbombának hívják, a matematikusok lapcentrált kockarácsnak

A csillagászati megfigyeléseiről híres Johannes Kepler 1611-ben fogalmazta meg a sejtését, miszerint ennél optimálisabb elhelyezési forma nem létezik. Kepler levelezést folytatott egy bizonyos Thomas Harriottal, aki nem narancsokat, hanem ágyúgolyókat akart egy adott térfogatú helyen tárolni. Kepler sejtése szerint a gúlába pakolt gömbök adják az optimális elrendezést, és semmilyen más elrendezés sűrűségi határértéke nem lehet szigorúan nagyobb 74 százaléknál.

Kepler sejtését sokáig nem sikerült bizonyítani. Thomas Hales 1998-ban készült el a saját bizonyításával; a tanulmányt 2005-ben publikálta. Akkor már léteztek azok a szuperszámítógépek, amik könnyedén elvégezhették a szükséges számításokat és bizonyíthatták a sejtéseket.

Ha kipróbálunk néhány elrendezést, érthetetlennek tűnik, miért kéne egy ilyen triviális állítást bizonyítani. Pedig – ahogy Bodnár József írja a Kepler narancsai c. tanulmányban – lokálisan elképzelhető a narancsgúlánál sűrűbb elrendezés. Néhány gömb még elhelyezhető úgy, hogy a köréjük rajzolt téridomnak több mint 74 százalékát tegyék ki, de az nem nyilvánvaló, hogy miért romlik el minden ilyen, sűrűbben induló elrendeződés. Ha ugyanis ezekhez egyre több gömböt rakunk, a téridomban elfoglalt területük – vagyis a sűrűség – mindig kevesebb lesz 74 százaléknál.

Hales megoldása viszont annyira komplex, hogy az ellenőrzéssel megbízott szakértők is csak annyit mernek kijelenteni, hogy 99 százalékig megbízható. A lépésenként rekonstruált bizonyítás akkora erőforrást igényelne, hogy senki nem vállalkozik rá. Főleg, ha a problémát nemcsak három, hanem nyolc vagy akár huszonnégy dimenzióban szeretnénk vizsgálni.

24 dimenzióban még a narancs is más

Az elméleti matematikában gyakorlatilag minden lehet új dimenzió. A körpakolási problémáknak van olyan felvetése, ami a nemeuklideszi geometriában vizsgálja a kérdést; ilyenkor már a sűrűség fogalma is megváltozik. A gömbnek mint alakzatnak a magasabb dimenziókban is ugyanaz a definíciója: egy csomó pont egy magasabb dimenziós térben, amik fix távolságra vannak egy adott középponttól.

Nem véletlenül említettük a nyolcadik és a huszonnegyedik dimenziót. A nyolcadik dimenzió egy sűrű rácsába lépve (E8) a probléma vizsgálata hajmeresztővé válik: a teljes megértéséhez több matematikai részterület megértése szükséges. Az E8 egyszerre számelmélet, kombinatorika, hiperbolikus geometria, és nem árt ismerni a húrelméletet is.

Képzeljük el, hogy a narancsokat nemcsak három dimenzióban pakoljuk egymásra! Minél több dimenziót vonunk be a képletbe, annál nagyobb lesz a gömbök közötti tér. A nyolcadik dimenzióban a gömbök közti terek elég nagyok lesznek ahhoz, hogy új gömböket lehessen közéjük illeszteni. Ez az egyetlen dimenzió, ahol az új gömbök pontosan passzolnak a hézagokba.

Jöjjön a neheze: a huszonnegyedik dimenzió. A huszonnégy dimenziós körpakoláshoz kapcsolódik a Leech-rács fogalma, amit John Leech brit matematikusról neveztek el. Leech 1964-ben publikálta a témával kapcsolatos tanulmányát. Hogy ez mennyit bonyolít az alapproblémán, azt jól szemlélteti, hogy kétdimenziós elrendezésben minden kört hat másik kör vehet körbe. A Leech-rácsban minden egyes gömbre 196 560 szomszédos gömb jut. (Ennek a gyakorlati bizonyítása azért lehetetlen, mert sem a huszonnegyedik dimenziót, sem a szükséges narancsmennyiséget nem tudnánk biztosítani a kísérlethez.)

A március 14-én publikált új tanulmányban a Berlin Mathematical School kutatója, Maryna Viazovska felfedezte a nyolcadik dimenzióhoz szükséges hiányzó lépést. A bizonyításához felhasználta a moduláris formákkal kapcsolatos elméleteket; a megfelelő moduláris forma alkalmazásával mindössze 23 oldalon sikerült bebizonyítania, hogy az E8 rács az optimális körpakolási forma nyolc dimenzióban. Viazovska bizonyítását felhasználva John Cohn matematikus és három másik szakember sikerrel alkalmazták a metódust a Leech-rácsra is – a bizonyítással alig egy hét alatt végeztek.

Ettől lesz olcsóbb a narancs?

Nem.

A körpakolás, bár izgalmas matematikaelméleti játék (és mint a bizonyításával kapcsolatos több évszázados kínlódás mutatja, elég fárasztó is), gyakorlati haszna is van. Akár a csomagolástechnikában, akár új mobilkommunikációs adótornyok telepítéséről van szó, az optimális elrendezéssel kapcsolatos elméleteket a mindennapokban is hasznosíthatjuk.

A nyolcadik és huszonnegyedik dimenzióra ez már nem érvényes, de mivel az E8 és a Leech-rács a matematika és fizika számos területét érinti, Viazovska új megközelítése további felfedezésekhez vezethet. Kérdés, hogy azt ki fogja felfedezni, ki tudja majd bebizonyítani, ki veszi majd a fáradságot az ellenőrzésére, és kinek fogja tudni érthetően elmagyarázni.